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1、Review,Greens Function The principle behind this method: Greens 2nd formula; The integral formula for Poissons Equation; How to get Greens Funtion: particular solution of the PDE and general solution of the homogeneous Equation.(superposition) Greens function in unbounded space; The method of image.
2、(planar surface, spherical surface and cylindrical surface),Review,To address BVP using the method of complex function The method of complex potential Conformal mapping The method of complex potential Two forms of the complex potential (potential in the real part or imaginary part) Using the complex
3、 potential to get the electric field intensity (two formulas) Tips: find the similarity between isopotential line, e line and the graphs of the complex function (real and imag part); choose appropriate function; determine the coefficients,Review,Conformal mapping method Properties of the conformal m
4、apping method Quantities unchanged in the mapping process (angle, equation form, potential, charge, capacitance) Quantities changed: angle when W(z)=0; source; electrical intensity; shape of the domain; Tips: be familiar with the elementary functions of complex variables, esp. the graphs concerned w
5、ith the real and imag part. Choose the function; calculate in the W plane; change the variables back to the original Z plane.,电磁场理论第十周讲稿,4.8 复变函数法 作业:436,37,38,4.8 复变函数法,概述 1、复变函数及其性质 2、复势函数法 例题 3、保角变换 4、许瓦兹克利斯多菲变换 例题,概 述,复变函数法是求解边界形状比较复杂的二维场的一种有效方法。 它是利用复变函数中一类称之为解析函数特有的性质来求解二维静态场。 应用方式有两种:一是直接利用解析
6、函数的实部或虚部作为待求场的解;另一种是利用解析函数的保角变换性质将一个形状较为复杂的二维势场转化为新的坐标系下边界形状较为简单的势场,求解后再代回到原平面的变量中。,一、 复变函数及其性质,1、复变数与复变函数 复变数 复变函数 式中实变数 、 均为x、y的单值函数。 2、解析函数与柯西-黎曼条件 解析函数 复变函数的导数和实数的定义相 似,即其导数为,一、 复变函数及其性质,一个复变函数如在某区域内所有的点都存唯一的导 数,则称为在该区域的解析函数。它是复变函数中 最重要的一类。 柯西-黎曼条件 解析函数满足 称为柯西-黎曼条件 ,可以证明此条件是关于为解 析函数的必要条件 。,一、 复变
7、函数及其性质,3、解析函数的性质 (1)调和性 将柯西-黎曼条件分别对x、y求导得 即 同理 这一性质称为调和性,相应的 、 称为调和函数。 或共轭调和函数。,一、 复变函数及其性质,(2)正交性 即 上式说明, 和 的曲线相正交。 (3)保角性 设在z平面内有两条过 点的简单光滑曲线C 、 , 它们经过 变换到t 平面的像分别为 。,一、 复变函数及其性质,以 表示C 、 在 点的切线与x轴正 向夹角,而以 表示 在 点的 切线与x轴正向夹角,如下图,一、 复变函数及其性质,根据导数定义,在 时,有 复数相除时,对应的辐角相减,故,一、 复变函数及其性质,上式表明两曲线均旋转相同的角 。故在
8、平面上两曲 线的交角不变,即变换具有保角性质.另外,由 可以说明,对 附近任一给定的小线段 ,在t平面 上附近有一与之对应的小线段 ,其长度被“放大” 了 倍,且旋转了角 ,上述性质因而称为保角变换。,一、 复变函数及其性质,保角变换把z平面上的每个点、弧线或区域以对应的方式变换到t平面上,且两线间夹角及其旋转方向均不变。 如z平面上两相互正交曲线对应电场中的电力线和等势线,则变换到平面上两曲线仍相互正交,且其有相同的物理意义。 这样,借助于复变函数的保角变换特性,有可能把一个给定的、其场域几何特征比较复杂的两维场问题变换为另一个场域几何特征比较简单的两维场问题。,二、 复势函数法,静态场的标
9、量势函数在无源区满足拉普拉斯方程; 复变函数中解析函数的重要性质是实部和虚部均满足拉普拉斯方程,因而代表一个平面场。 不同的解析函数的实部和虚部代表不同的几何图形,如果某一解析函数的实部和虚部代表几何图形与所求的边界问题相吻合,则解析函数可作为待求势函数的解。,二、 复势函数法,1、复势 用复变函数的实部或虚部作为势函数,称为复势。 即 或 为了进一步求得场强的表达式,设 为势函 数或电位函数, 为通量函数,可得(第一种 情况),二、 复势函数法,或 由复电势的导数得,二、 复势函数法,即 如果选 ,则,所以:,二、 复势函数法,二、 复势函数法,下面考虑 的物理意义。 计算穿过曲线AB的通量
10、。 左手定则:线元方向、 外法线。,二、 复势函数法,上式表明,函数 确为静电场的通量函数。 应用时:1、选择曲线的“正方向”(左手); 2、观察通量函数的位置; 3、使用“前前后后”的规则。 一个小例子。 只要找到复势函数就可以给出电势分布。但,寻找需要的复势没有一定的方法,而必须根据解析函数所代表的曲线族的特征来选取相应的函数作为复势。,二、 复势函数法,用复势函数法求解势场边值问题的基本思想: (1)找到一个复势函数,使它的实部或虚部在Z平面 所描绘的曲线能与边值问题中等势线或力线相重合。 实际上总是先研究一系列已知的解析函数在Z平面所 描绘出实部或虚部的曲线,然后凭我们对所求问题的 力
11、线和等势线的了解,找出适合与那种类型的势场边 值问题,再选取相应的解析函数; (2)对相应的势场进行分析计算。所以这种方法要 求我们知道常见的一些解析函数的实部和虚部的曲线,例 题,例:夹角为 的两半无限大平面上电势分别为 求 内电势和电场强度。 分析:我们知道,对数函数中 曲线表示r=常数的一族圆; 曲线表示 =常数的径向平面族。,解:设 , 则 选 r=1时, 则 选 则,例 题,例 题,或,如图所示,在坐标原点处放置一个无限长的带电直导线,其电荷线密度为 ,用复势函数法确定其周围的电势及通量函数分布,A,x,y,B,E,O,n,(高斯定理),在原点处放置一无限长的电流I,试用复势函数法确
12、定其周围的势函数和通量函数,例 题,由安培环路定律,Z平面上夹角为 ( ) 的两半无限 大合成的角形域变换为w平面上的上半平面 ,则变换为 当 对应变换 则,复电势 则 取虚轴的通量为零和实轴 的电势为零, 则二常数为零 即 若 则 故,例 求扇形电阻片的电阻,则 故 因 通量为 故,三、保角变换,从复变函数的知识可知: 如果函数u(x,y)在z平面上是拉普拉斯的解,通过保角变换后变成 、 的函数,此函数在t平面上仍满足拉普拉斯方程;,三、保角变换,角度不变; 方程形式不变; 电势不变; 总电荷不变; 电容不变;,线度改变; 源的强度改变; 电场强度改变; 边界形状改变; 导数为0处角度改变;
13、,三、保角变换,常见的几种保角变换 1、幂函数变换 令 则 该变换的特点是把z平面的圆周变换成t平面的圆周。 特别是单位圆周变换成单位圆周 ;把以原点为顶点 的角形域变换成以原点为顶点的角形域,但其张角为 原来的的n倍。,讨论变换 若均匀场是t平面上具有平行于两坐标轴的直线族,则此变换将t平面的正实轴变换成z平面上的正实轴,其负实轴却因负值的方根变成z平面上的正虚轴,这样t平面的上半平面变换成z平面的第一象限,如图所示。,三、保角变换,三、保角变换,由 得 表明平行于 轴的直线族将变换为等轴双曲线,而平行于 轴的直线族变换为与之相互垂直的另一等轴曲线族。 的实轴与x、y轴重合,表示电势为零。
14、=常数表示等势线, 常数表示通量线。,例 求角形域中线电荷的电势 采用极坐标系, w平面上的电势为,以 代入 得,当 时,有 其中,当 时, 有 与镜像法的结果相同。,2、对数变换 对数变换是常用的一种变换。 对数变换是指数变换的逆变换。 研究指数变换 令 ,得 可知:z平面上的直线常数变换到t 平面上的圆周 常数,而直线y常数变换成射线 常数。因此,指数变换的特点是:把水平的带形城变换成角形区域。,三、保角变换,三、保角变换,对于变换 取极坐标系 则 故 而复电位 即 可见:在t 平面上 常数的直线在z平面表示一族 圆; 常数表示一族径向射线。,下面我们着重阐明三种基本场。 (1)线电流场
15、今在原点给一纵向电流I,当从0变至 时,线电 流的标量磁位 的变化为 与安培环流定律 比较可得 故复电位,三、保角变换,(2) 线电荷源 若将通量函数与势函数互换,则复电位 此时, 常数与电力线相合,表达了环绕电荷 的路径切割所有由电荷散发出来的通量线。而 常数与线电荷的等势面相合。,三、保角变换,故 复电位 (3) 两个半无限大等势平面的场 3. 三角函数变换 现在研究三角函数变换,三、保角变换,三、保角变换,将其展开得 即 将两式平方相加、相减得 可见: 常数表出一族椭圆其半焦距为c;半长轴为 而 =常数表出一族共焦双曲线,其半焦距也为c,半实轴为 。,三、保角变换,因此,在t平面上任一平
16、行于 轴的直线变 换为平面上的椭圆,任一平行于 轴的直 线变换为z平面上的一条双曲线。,例题,椭圆同轴线内导体的外表面与外导体的内表面为共焦椭圆柱面。若内导体外表面的半长、短轴分别为a1、b1,外导体内表面的半长、短轴分别为a2、b2,两导体间填充介电常数为的介质。试求此椭圆同轴线单位长度的电容。,例题,解:设内外两导体间电势为 . 由于所给问题的边界与反正弦函数的实部 所表示的曲线(即共焦椭圆)重合,故令 则 故,例题,两板间的电压为 极板上单位长度的电量为 电容为,例题,解法2:用保角变换法 由于等势面为椭圆,故可采用反正弦 或反余弦函数变换来进行计算。,例题,将z平面上的椭圆变成t平面上
17、的直线区域, 其宽度为 。其间的电势仍满足 所以,利用平行板电容器计算公式,得单 位长度的电容为 其中,反三角变换的延伸,4. 分式线形变换 一般形式 (1) 直线变换和偶极子 研究反演变换 将其有理化得,三、保角变换,故有 得 当 、 为常数时,在平面上各为一族圆。即:平面 上平行两坐标轴的直线变换成z平面的圆族。 、 为 常数的两族圆均与轴相切与原点,如下图。,三、保角变换,这一场图与偶极子的通量线及等势线组成的场图 是相同的。反演变换将均匀场(平面)与偶极子场 联系起来了。,三、保角变换,z平面,t平面,(2) 圆的变换 t平面上圆心在 ,半径为r的圆,其方程为 经变换 得 整理得,三、
18、保角变换,此为z平面上的圆方程。其半径为 ,圆心 为 , 它是由t平面上半径为r,圆心在 的圆变换 得来的. 如 ,变换后的圆全位于z平面的右 半平面内。 如 ,此圆在t平面上通过原点,变换到 z平面上为一直线,表示为,三、保角变换,保角变换,如 ,变换后的圆,其圆心位于负实 轴上,图形仍可能延展到右半平面上。 因此,如z平面上原点选取合适,有可能将任意 两个非同心圆变换为t平面上两同心圆。z平面的 这两个非同心圆可以是一个圆在另一个圆内, 两圆偏心;也可以是一个圆在另一个圆之外; 甚至可以是一个圆靠近蜕化为直线的另一个圆。 若某场的边界属于上述三种情况之一,则用变 换法可求解附有适当边界条件
19、的同心圆边界所 对应的场。,三、保角变换,5. 简单的儒可夫斯基变换 取 式中A、a均为常数,此式可改写为 得,三、保角变换,三、保角变换,常数,对应椭圆,焦点为 常数,对应双曲线,焦点为 ,对应两条射线; ,对应一个线段。,将t和z分别写成实部和虚部的形式,便可以证明,此变换能将t平面实轴上大于 和小于 部分变换为z平面的实轴;而t平面实轴上 一段 则变换到z平面上,成为圆心在z0,半径为a的一个圆。,三、保角变换,更一般的变换式为 它可以将t平面实轴上大于 和小于 的区域变为z平面的实轴;t平面实轴上一段 则变换到z平面上椭圆 ,其方程为,三、保角变换,用许瓦兹克利斯多菲变换可将z平面上的
20、多角 形区域边界变换为t平面上的实轴,将多角形内 域变换为平面的上半平面,如图所示。,四、许瓦兹克利斯多菲变换,在平面的实轴上线段ab,bc,,cd, 分别和平面上多角形的边界AB,BC,CD,对应;实轴上的点a,b,c,d分别和多角形顶点A,B,C,D,对应;上半平面与多角形内的空间相对应。 实际计算时,是采取把平面的实轴变为平面的多角形边界的方法。变换函数由积分下式而得,四、许瓦兹克利斯多菲变换,是多角形的内角,式中乘积项的数目 与多角形边界顶点的个数相同。 实际变换中,将变换中的内角 用 它们外角 代之,从而给出了在平面上的边界在有关各顶 点上旋转的角度。这样,变换变为,四、许瓦兹克利斯
21、多菲变换,四、许瓦兹克利斯多菲变换,该方向的辐角直接确定了描绘多角形边界的dz 单元的斜率,即平面上边界的变化,此辐角为 现在讨论当t从一 变至 时,dz方向的变化 当 时,上式中 均为 负实数,其辐角均等于 ,因此,四、许瓦兹克利斯多菲变换,为常数,在z平面上给出一条直线。 当t 经过点a未到达点b时, 变为正实数,其 辐角为零,得,四、许瓦兹克利斯多菲变换,表示线段dz的倾角增加了 ,对应z平面上边界 旋转角 ,仍得一条直线。而当t经过b点时, 从负变正.,arg 从 变为0,此时 辐角为 即在z平面上边界旋转角 ,以后t在b、c之间所 对应平面上的线段就保持此方问不变。,四、许瓦兹克利斯
22、多菲变换,依次类推,可将整个多角形描出。可见 决定在z平面上倾角发生变换的位置。 显然变换函数不包括 点此点虽然对 应平面上的某一顶点。 变换的模决定dt的“放大”倍数,也决定了由t平 面实轴上的线段变换到z平面上的线段长度。 须适当选择常数 的值,以使经变换所 得多角形与设定的多角形一致。,例 题,例 将t平面上的实轴变换为W平面上的两 无限长平行线。,例 题,我们把W平面上的两平行线想象为相交于无穷 远处C点,且右侧分别延伸至无穷远处A和B点。 这样,在W平面上,我们得到的是内角为零的 角形结构 , 。在平面上,令a、 b、c各点分别与W平面上的A,B,C点对应。则,例 题,积分得 易证,
23、在这种变换下,W平面上 常数与 常数的直线分别变为t平面上以原点为中心的圆 族和射线族; 特别是,W平面上的CA对应于 ,变换至平面 上的ca,则对应于由C点发出、角度为 的射线。 由此可知 ,故,例题,如果将t平面上的实轴变换为z平面上的直角二面角,则又是一种什么情况呢?设该直角二面角与第一象限的两坐标轴重合。,总结,1、镜像法适用于平面和圆形导体边界,以及介质间的平面边界,其关键是镜像的个数、大小和位置,原场源处待求区域的势或场在撤去边界后,使其介质充满整个区域,由原场源及其镜像共同确定。 2、分离变量法可使拉普拉斯偏微分方程分离为几个常微分方程,其通解是这几,总结,个微分方程解的乘积,其中的分离常数和积分常数都由边界条件(包括自然边界条件)确定,由此得到原方程和相应边界条件的特解。直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系分别适用于矩形域、圆柱形域及球形域,或其一部分区域。 3、格林函数法适用于求解势函数的泊松方程和拉普拉斯方程。待求势函数由包,总结,括格林函数的积分方程给出,即由给定场源和边值条件及格林函数可求得待求势函数,而格林函数可由相同边界的镜像法得出。故格林函数法可解决平面、矩形和圆形导体边界势函数问题。 4、复变函数法仅适用于平行平面场。由保角变换函数将复杂边界变换为简单边界,由复势函数求得复杂边界的势或场。,
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