第7章MATLAB符号计算.ppt
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1、第7章 MATLAB符号计算,7.1 符号计算基础 7.2 符号导数及其应用 7.3 符号积分 7.4 级数 7.5 符号方程求解,7.1 符号计算基础,7.1.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量,例如,a=sym(a)建立符号变量a,此后,用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。,例7.1 考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口,输入命令: a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建
2、立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式,例7.2 比较符号常数与数值在代数运算时的差别。 在 MATLAB命令窗口,输入命令: pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号变量 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 sqrt(k1) % 计算符号表达式值 sqrt(r1) % 计算数值表达式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符
3、号表达式值 sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值,(2)syms函数 syms函数的一般调用格式为: syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符(),变量间用空格而不要用逗号分隔。,2. 建立符号表达式 建立符号表达式有以下3种方法: (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,7.1.2 基本的符号运算 1. 符号表达式的四则运算 符号表达式的四则运算和其他表达式的运算并无不同,但要注意,其运算结果依然是
4、一个符号表达式。符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现,幂运算可以由sympow来实现。,2符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式,可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为: n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母,分别将它们存放在n与d中。,3.因式分解与展开 factor(S) 对S分解因式,S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开,S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项,S是符号表达式
5、或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项,S是符号表达式或符号矩阵。,4.表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有: simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简,并显示化简过程。,5符号表达式与数值表达式之间的转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,7.1.3 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调
6、用格式为: findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量,若没有指定n,则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时,如果用户没有明确指定自变量,MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量,事实上,MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,7. 1. 4 符号矩阵 transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。 determ(S) 返回S矩阵的行列式值。 colspace(S) 返回S矩阵列空间的基。,7.2 符号导数及其应用,7.2.1 函数的极限 limit函数的调用格式为: limit(f
7、,x,a) limit函数的另一种功能是求单边极限,其调用格式为: limit(f,x,a,right) 或 limit(f,x,a,left),例7.10求极限。 在MATLAB命令窗口,输入命令: syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求极限(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求极限(2) limit(f,inf) %求f函数在x(包括+和-)处的极限 limit(f,x,inf,left) %求极限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a
8、); limit(f,x,a,right) %求极限(4),7.2.2 符号函数求导及其应用 MATLAB中的求导的函数为: diff(f,x,n) diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit,可以缺省,缺省值与limit相同,n的缺省值是1。,例7.3 求函数的导数。 命令如下: syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数,按缺省规则处理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数 f1=a*c
9、os(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x的二阶导数 f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数 diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数 f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数 zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,
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