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1、,1 转动动能,动能:,在刚体上取一质元 :,对刚体上所有质元的动能求和:,- 对转轴的转动惯量,则刚体的转动动能,转动动能定理,基本方法:,刚体定轴转动的动能定理:,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量,2 刚体定轴转动的转动定律,刚体定轴转动动能定理的微分形式,对于定轴转动刚体,转动惯量 为常量,两端同除以,刚体定轴转动时,刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比,如图所示,一质量为m 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮,可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子,绳子一端固定在滑轮上,另一端悬挂一质量为m 的物体,求物体下落时的加速度。,例,解
2、,滑轮受到的外力矩为绳的拉力矩,对于轴O,由刚体的定轴转动定律得,对物体应用牛顿第二定律得,一绳跨过定滑轮,两端分别系有质量分别为m和M的物体,且 。 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘,其质量为 ,半径为R ,转轴垂直于盘面通过盘心,如图所示。由于轴上有摩擦,滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作用。设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动,求物体的加速度及绳中的张力。,例,受力分析如图所示.对于上下作平动的两物体,可以视为质点,由牛顿第二运动定律得,若以顺时针方向正,则由刚体定轴转动的转动定律得,解,据题意可知,绳与滑轮间无相对滑动,所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等,即,3 质点的角动量和刚
3、体的角动量,大小,的方向符合右手法则.,1) 质点角动量,A,(圆运动),2 ) 刚体定轴转动的角动量,3) 刚体定轴转动的角动量定理,刚体定轴转动的角动量定理,守恒条件,若 不变, 不变;若 变, 也变,但 不变.,若 ,则 .,4) 刚体定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.,有许多现象都可以用角动量守恒来说明. 它是自然界的普遍适用的规律.,花样滑冰 跳水运动员跳水,例1 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支点为 a 处,使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少 ?,解: 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹
4、射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后,以子弹、细杆和 地球为系统 ,机械能守恒 .,2. 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆,如图所示,它距离太阳最近的距离是 , 速率 ;它离太阳最远时的速率 ,这时它离太阳的距离,解 彗星受太阳引力的作用,而引力通过了太阳,所以对太阳的力矩为零,故彗星在运行的过程中角动量守恒. 于是有,代入数据可, 得,例 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链 O 相接,并可绕其转动. 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态,当其受到微小扰动时,细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度.,解1 细杆受重
5、力和 铰链对细杆的约束力 作用,由转动定律得,解1,解2,一匀质细棒长为l ,质量为m,可绕通过其端点O的水平轴在竖直平面内无摩擦地转动。棒在水平位置时释放,当它落到竖直位置时与放在地面上一静止的物体相撞。该物体的质量也为m,与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止,求碰撞后杆的转动动能。,这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外,其余内力与外力都不做功,机械能守恒。取棒在竖直位置时质心所在处为势能零点。,C,O,解,例,用 表示棒这时的角速度,则,(1),第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,自由的冲力极大,物体虽然受到地面的摩擦力,但可以忽略。这样,棒与物体相撞时,它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零,所以,这个系统的对O轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度,则,(2),第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为,(3),由匀减速直线运动的公式得,由式(1)、(2)与(4)联合求解,即得,(5),
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