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1、7. 曲线曲面基础-2,7.1 解析曲面 7.2 Bezier曲面 7.3 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,解析曲面(代数曲面),代数曲面在造型系统中常见,但远远不能满足复杂曲面造型的要求 适合构造简单曲面,不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一,程序实现量大 工程设计交互性差 因此,CAD系统中除简单代数曲面外,必须具有强大的自由曲面造型能力 Bezier、B样条、BURBS曲面在商用CAD系统中常见。,7. 曲线曲面基础2,7.1 解析曲面 7.2 Bezier曲面 7.3
2、 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),则Bezier曲线定义为:,其中Bi,n(t)是n次Bernstein基函数:,Bezier曲面的定义,展开上式得:,Bezier曲面参数空间和三维欧式空间的映射关系,Bezier曲面的特性,1),2),事实上,沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然,固定参数v,对参变量u而言是一簇Bezier曲线;固定参数u,对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。,3),4) 其它特性与Bezier曲线类似:
3、,Bezier曲面的计算与绘制,Bezier曲面的拼接,,即两曲面的首末控制点相同。,A)G0连续,B)G1连续,最简单直接的方法为:,,即有公共切平面,为了实现多张曲面拼接,需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面,对低阶曲面可通过升阶方法提高阶次。 特征多边形顶点数决定了它的阶次数,当n较大时,不仅计算量增大,稳定性降低,且控制顶点对曲线的形状控制减弱; 不具有局部性,即修改一控制点对曲线产生全局性影响。 1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数,从而改进上述缺点。,Bezier曲面的不足,7. 曲线曲面基础2,7.1 解析曲面
4、7.2 Bezier曲面 7.3 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,类似Bezier曲面,将均匀三次B样条曲线推广可得到均匀双三次B样条曲面的定义如下:,B样条曲面的定义,B样条曲面的性质,由此可见,B样条方法能够很方便绘制复杂曲面,并比Bezier方法更灵活,因此应用更广泛。,B样条曲面的计算与绘制 先沿等参数方向离散成网格点,然后依次连线绘制,B样条曲面的反算,借鉴B样条曲线的反算思想,先对给定型值点进行u向反算,反算得到一组控制点,再以此控制点为型值点进行v向反算,具体步骤如下:,a)以U向截面数据点(型
5、值点)及端点u向切矢,应用B样条曲线反算,构造出各截面曲线,求出它们的B样条控制顶点:,b)仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“数据点”,又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”,应用曲线反算,求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。,c)然后固定指标i,以第一步求出的n1条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即:,为“数据点”,以上一,步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”,在节点矢量V上应用曲线反算,分别求出m3条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点,三次B样条插值曲面的控制顶点。,,即为所求双,7. 曲线曲面基础2,7.1 解析曲面 7.2 Be
6、zier曲面 7.3 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,NURBS曲面的定义,追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标之一,NURBS不是终点,学者们仍在努力。 (目前样条表达能力更强,但控制参数更多),7. 曲线曲面基础2,7.1 解析曲面 7.2 Bezier曲面 7.3 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,1、Quadric and Super-quadric,二次曲面(quadric)是最基本的曲面表达:如球面
7、、锥面、环面、抛物面、双曲面等;其特点为表达简单,计算量小,尤其是求交运算容易获得其解析解,因此商用系统中广泛采用。,Quadric surface,Super-quadric,Super-quadric toroids,Super-quadric ellipsoids,Super-quadric曲面在商用CAD系统应用相对较少,但在动画软件中常用,2隐式曲面,Implicit Surface,隐式曲面是元球(metaball)的更一般形式,它在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势,隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。,3、偏微分方程(PDE)曲面,PDE方法使用一组
8、椭圆偏微分方程构造曲面,曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。,4、等距曲面(Offset),F(u,v) S(u,v)+ d N S(u,v),5、细分曲面,7. 曲线曲面基础2,7.1 解析曲面 7.2 Bezier曲面 7.3 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,前面我们介绍的各种解析曲面、Bezier曲面、B样条曲面及NURBS曲面,其生成的曲面比较规则。 而实际工程中会有各种不规则的曲面,很多形体的表面也都是由不规则的曲面封闭包围而成。 这些不规则的曲面往往是由规则曲面裁剪而成,裁剪操作的
9、关键在于曲面的求交,如图:,当前的CAD系统,大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中,零件形体的边界元素和某类几何元素相对应,它们可以是直线、圆(圆弧)、二次曲线、Bezier曲线、B样条、NURBS曲线等,也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B样条、NURBS曲面等,求交情况十分复杂。,在一个典型的CAD系统中,用到的几何元素通常有25种,为了建立一个通用的求交函数库,所要完成的求交函数多达 25325种!一种好的思想是将几何元素进行归类,利用同一元素之间的共性来研究求交算法。,NURBS具有强大的表示能力,能使造型系统的几何元素表示统一起来,那么,几何造型系统的求交是否可以
10、简化为NURBS求交呢?非也 !,通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精与跟踪的方法,求交精度不高,计算量大,速度慢,对共点、共线、共面难以处理,从而影响布尔运算的效率和稳定性。,基本的求交算法: 由于计算机内浮点数有误差,求交计算必须引进容差。假定容差为e,则点被看成是半径为e的球,线被看成是半径为e的圆管,面被看成是厚度为2e的薄板。 点于其它几何元素的求交比较简单,计算两个点是否相交,实际上是判断两个点是否重合,判断点和线(或面)是否相交,实际上是判断点是否在线(或面)上。 线与线的求交:有二次曲线与二次曲线、二次曲线与自由曲线及自由曲线与自由曲线求交三种。 线与面的求交:有二次曲
11、线与二次曲面、二次曲线与自由曲面、自由曲线与二次曲面及自由曲线与自由曲面求交四种。,在几何元素之间的求交算法中,曲面与曲面之间的求交是最为复杂的一种,比其它元素的求交要复杂得多,曲面与曲面求交的基本方法主要有代数方法、几何方法、离散方法和跟踪方法四种。,1代数方法 代数方法是利用代数运算,特别是求解代数方程的方法求出曲面的交线。对于一些简单的曲面求交,如平面和平面,平面和二次曲面,可以直接通过曲面方程求解计算交线,对于某些复杂的情况,则需要进行分析和化简的运算后求解。,2几何方法 几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置以及方向等进行计算和判断,识别出交线的形状和类型,从而可精确
12、求出交线。 几何求交适应性不是很广,一般仅用于平面以及二次曲面等简单曲面的求交。(机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法),3离散方法 离散方法求交是利用分割的方法,将曲面不断离散成较小的三角形平面片来逼近,然后用这些简单面片求交得一系列交线段,连接这些交线段即得到精确交线的近似结果。 离散求交一般过程:1)用包围盒作分离性检查排除无交区域;2)根据平坦性检查判断是否终止离散过程;3)连接求出的交线段作为求交结果。,然而离散法求出的交线逼近精度不高。如果要求的精度较高,需要增加离散层数。这将大大增加数据储存和计算量。 离散求交的难点在于求交精度不高,难以构成完整的交线。因此多用于初始点的确定
13、。,S 1的参数域,S 2 的参数域,交线在两曲面参数域的映射,4跟踪方法 跟踪方法求交是通过先求出初始交点,然后从已知的初始交点出发,相继跟踪计算出下一交点,从而求出整条交线的方法。 跟踪法的本质是构造交线满足的微分方程组,先求出满足方程组的某个某个初值解,通过数值求解微分方程组的方法来计算整个交线。,跟踪方法在计算相继交点的时候,利用了曲面的局部微分性质,一般采用数值迭代的方法求解,使得计算效率较高。 跟踪法求交中要考虑的主要问题包括:1)如何求出初始交点并保证每一交线分支都有初始交点被求出;2)如何计算奇异情况下的跟踪方向以及合理选取跟踪的前进步长;3)如何处理相切的情况。,7. 曲线曲
14、面基础2,7.1 解析曲面 7.2 Bezier曲面 7.3 B样条曲面 7.4 NURBS曲面 7.5 曲面的其它表达 7.6 曲面求交算法 7.7 CAD系统中的曲面造型方法,1、CAD系统中常见曲线生成手段,直接公式定义:直线、圆弧,ACIS 中的law等。 输入控制点 输入型值点(最常见),反算控制点。,由设计人员输入曲线上的型值点来设计曲线,此时曲线生成就是所谓的曲线反算过程(前面已经介绍B样条的反算)。该方法是曲线设计的主要方法,用户定义、修改直观方便。,2. 常见曲面生成手段,1)延伸扫描,2)回转扫描,3)蒙皮(放样),4、指定边界覆盖(cover),5、等距,6、广义扫曲面,
15、7、过渡曲面,3、常见曲线曲面编辑手段,变换、复制、镜像、阵列、插入、删除、修改,曲面求交与裁剪,曲面拼接,在精致的轿车车身设计或人脸类雕塑曲面的动画制作中,常先用油泥制模,再作三维型值点采样。 在医学图象可视化中,也常用CT切片来得到人体脏器表面的三维数据点。 从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型,称为曲面重建。 采样工具为激光测距扫描器、医学成像仪、接触探测数字转换器、雷达或地震勘探仪器等。 根据重建曲面的形式,它可分为函数型曲面重建和离散型曲面重建。,4其它造型手段,散乱点曲面重建,基于物理的变形曲面,现有的CAD/CAM系统中的曲面造型方法建立在传统的CAGD 纯数学理论的基础之上,借借助控制顶点和控制曲线来定义曲面,具有调整曲面局部形状的功能,但这种灵活性也给形状设计带来许多不便。 设计者在修改曲面时,往往要求面向形状的修改。通过间接的调整顶点、权因子和节点矢量进行形状修改既繁琐、耗时又不直观,难以既定性又定量地修改曲面的形状。 基于物理模型的曲面造型方法为克服这些不足提供了一种手段。,思考题: 1.掌握Beizer曲面的性质、计算与绘制方法 2.掌握B样条曲面的性质、计算与绘制方法 3.了解NURBS曲面及其特点 4.了解曲面造型手段,
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