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1、,第五节,第五章,定积分的应用,一、定积分的微元法,二、 平面图形的面积,三、 旋转体的体积,定积分求曲边梯形的面积问题回顾,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的微元法,解决步骤 :,1) 分割.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 作近似.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 求近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下
2、页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四个步骤中,由第二步的近似表示式,可以确定出被积表达式,不妨取,于是,若记 的任一小区间 为,则,称为面积微元,即,于是,表示为,1、什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的,2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个整体量 ;,2 、如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
3、,积分表达式,这种分析方法成为微元法(或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等,近似值,精确值,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,二、已知平行截面面积函数的立体体积,第二部分,一、 平面图形的面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,设曲线,与直线,及 y轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在
4、第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲
5、边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积 .,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),心形线 目录 上页 下页 返回 结束,心形线(外摆线的一种),即,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,二、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,
6、当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 由曲线,与直线 x2 所围图形绕 x 轴,旋转而转而成的椭球体的体积.,解:取x为积分变量,积分区间为0,2,相应于0,2上任一小区间x, x+dx上有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求底半径为r高为h的
7、圆锥体体积。,解: 取坐标如右图所示。,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),注 目录 上页 下页 返回 结束,柱壳体积,说明:,柱面面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偶函数,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一
8、周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,极坐标方程,直角坐标方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,(柱壳法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P188 1 (1), (4); 6; 9 ; 11 (1), (3)。,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .,提示: 交点为,弧线段部分,直线段部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以 x
9、为积分变量 , 则要分,两段积分,故以 y 为积分变量.,2. 试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积 :,提示:,方法1 利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .,方法2 用柱壳法,说明: 上式可变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).,求侧面积 :,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式也可写成,它也反映了环面微元的另一种取法.,备用题,解:,1. 求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,3.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解:,与,所围成,得,所围区域的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示:,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若选 y 为积分变量, 则,
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