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1、数学分析与复变函数的异同,指导老师:* 学 生:*,概要,1、课题的来源和意义 2、数学分析的特点 3、复变函数的特点 4、数学分析和复变函数的比较 5、总结,1、课题的来源和意义,数学分析是数学专业最重要的一门基础课,是几乎所有后继课程的基础,在培养具有良好素养的数学及其应用人才方面起着特别重要的作用。复变函数不仅是我们所学实变函数微积分数学分析的理论推广,而且作为一种强有力的工具,已经被广泛地应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制理论等,目前还被广泛应用于信号处理、电子工程、智能计算等领域。 对数学分析和复变函数作一个比较是非常有必要的。,2、数学
2、分析的特点,数学分析作为数学专业的必修课程之一,基本内容是微积分,还涵盖了极限和级数的理论。数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性,有了实数的连续性,才能讨论极限,连续,微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中,人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。,3、复变函数的特点,复变函数是以复数作为自变量的函数。复数的概念起源于求方程的根,在二次、三次代数方程的求根中出现了负数开平方的情况。在很长时间里,人们对这类数不能理解。但随着数学的发展,这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是:a+bi,其中i是虚数单位。复变函数主要包括复变函数的极限与连续性、复函数的积分理
3、论、级数理论、留数理论及其应用、保形映射与解析延拓等。,4、数学分析和复变函数的比较,数学分析与复变函数的相同点 二者的定义相同,都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射;实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质;都具的基本初等函数,如指数函数,对数函数,幂函数等;二者都具有极限和连续性 ,对数学分析中的一些比较重要的定理,如维尔斯特拉斯定理,区间套定理,有限覆盖定理在复数集也成立 ;二者都具有积分,并且积分定义形式类似,都可用类似黎曼积分定义的形式来表述,在此就不详细说明了,实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则;二者都有数项级数和函数项级数,并且结构类似 ,
4、函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理,魏尔斯特拉斯判别法来判断,函数都可以有泰勒展式,并且形式一致。,数学分析与复变函数的不同点 数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数,数学分析研究实数上的函数,复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同,而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。 1. 极限 复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限,数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限,也可研究趋近于无穷大的极限,也可以研究单侧极限,研究范围比复变函数要广。 2. 求导与微分 数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分,可以算作是积分学的逆运算,在现实生活中有举足轻重的作用,而复变函数中
5、虽提到导数与微分,但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理,函数的升降、凸性及极值理论,还提出了待定型求极限的方法。,3. 洛朗展式 复变函数中除了泰勒展式,还提出了洛朗展式,即圆环内解析函数的一种级数展式,形如 ,这里 是复常数,而数学分析中没有这种形式。 4. 留数 留数是复变函数里复变函数中特有的概念,定义如下:设函数 在区域 内解析。选取r,使0rR,并且作圆 ,那么如果 在 也解析,则上面的积分也等于零;如果 是 的孤立奇点,则上述积分就不一定等于零;这时,我们把积分 定义为 在孤立奇点 的残数,记作 ,这里积分是沿着C按反时针方向取的。 留数可用来计算某些原函数比较难求的定积分或反常积分。,5、总结,从开始选题至今,在指导老师辅导下和其他同学的相互帮助下,我完成了毕业论文,在这期间我学到了很多东西。我把大学基期间所学的数学分析和复变函数又重新温习了一遍,仔细研读数学分析和复变函数的相关参考文献,对二者之间的异同进行了比较。 由于个人能力和时间有限,我的研究工作还有很多不足之处。主要有几下几个方面: 1. 对课题资料内容的理解不是非常透彻,数学分析和复变函数内容比较的不全面。 2. 文章的结构组织可能有不妥之处,有待于改进。 3. 比较的内容过于简单、浅显,举例不多 。 请各位老师予发指正。,谢谢!,
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