【优化指导】2013高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 新人教A版.ppt
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1、第十二节 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例,1了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次),2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,一、函数的单调性与导数 在某个区间内,若f(x)0,则函数yf(x)在这个区间内 ;若f(x)0,则函数yf(x)在这个区间内 ,单调递增,单调递减,1f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件吗? 提示:f(x)0
2、(或f(x)0)仅是函数f(x)在这个区间内为增函数(或减函数)的充分条件而非必要条件,如f(x)x3在(,)上为增函数,但f(x)3x20,既必要性不成立,二、函数的极值与导数 1函数的极小值 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点xa附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫做函数yf(x)的 ,f(a)叫做函数yf(x)的 ,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,2函数的极大值 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0;而且在点xb附近的左侧 ,右侧 ,则点b叫做函数yf(x)的 ,f(b)叫做函
3、数yf(x)的 极小值点、极大值点统称为 ,极大值和极小值统称为 ,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值,极值点,极值,三、函数的最值与导数 在闭区间a,b上连续,在(a,b)内可导,函数yf(x)在a,b上求最大值与最小值的步骤: (1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值、最小的一个是最小值,2极值点一定是最值点这句话对吗? 提示:函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较函数的极值不一定是最值,最值
4、点也不一定是极值点,四、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具,优化问题,答案:B,答案:D,3函数yf(x)的导函数yf(x)在区间(a,b)内的图象如图,则函数yf(x)在区间(a,b)内极大值的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案:B,答案:3,5已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,m,则Mm_. 解析:由题意得f(x)3x212,令f(x)0得x2,且f(3)17,f(2)24,f(2)8,f(3)1,所以M24,m8,Mm32.
5、 答案:32,1.导数法求函数单调区间的一般流程:,2导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: (1)求f(x) (2)确认f(x)在(a,b)内的符号 (3)作出结论:f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数 3在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是当x(a,b)时f(x)0(或f(x)0)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这一结论在由f(x)在区间D上递增(或递减)求参数的范围时,可大胆使用,已知f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存
6、在a,使f(x)在(,0上单调递减,在0,)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由,【思路点拨】(1)由f(x)0求得单调区间,注意对a的讨论;(2)f(x)0在R上恒成立求出a的取值范围;(3)由f(x)0在(,0上恒成立,同时f(x)0在0,)上恒成立求出a的取值或由f(0)0求得,【自主解答】f(x)exa. (1)若a0,f(x)exa0恒成立,即f(x)在R上递增若a0,exa0,exa,xln a. f(x)的单调递增区间为(ln a,) (2)f(x)在R内单调递增, f(x)0在R上恒成立 exa0,即aex在R上恒成立 a(ex)min,又ex0,a0.,(3)解
7、法一:由题意知exa0在(,0上恒成立 aex在(,0上恒成立 ex在(,0上为增函数 x0时ex最大为1. a1. 同理可知exa0在0,)上恒成立 aex在0,)上恒成立 a1,a1. 解法二:由题意知,x0为f(x)的极小值点 f(0)0,即e0a0,a1.,【特别提醒】已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或f(x)0),x(a,b),转化为不等式恒成立求解,【活学活用】 1.已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由,解
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