【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)课件:1.4 生活中的优化问题举例.ppt
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1、1.4 生活中的优化问题举例,【题型示范】 类型一 几何中的最值问题 【典例1】(1)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,则该长方体的最大体积是_m3.,(2)如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=- x2 +2,x-2,2的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小 值.,【解题探究】1.题(1)中应设哪个未知量?如何表示其他的量? 2.题(2)中如何巧设切点坐标?在曲线上一点处的切线方程公式是什么? 【探究提示】1.根据题意知,长方体的所有棱长和是18m,故可设出宽,用宽表示出长和高,将体积表示成宽的函数,用导数来求其最大值即可
2、. 2.可设点P的坐标为(t,- t2+2)(0t2),过曲线上一点的切线方程公式是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,【自主解答】(1)设该长方体的宽是x m,由题意知,其长是 2x m,高是 则该长方体的体积V(x)=x2x( -3x)=-6x3+9x2,由V(x)=0,得到x=1,且当0x1时,V(x)0;当1x 时,V(x)0,即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3,也是函数V(x)在定义域上的最大值 所以该长方体体积最大值是3 m3 答案:3,(2)设梯形ABCD的面积为S,点P的坐标为(t,- t2+2)(0t2) 由题意得,点Q的坐标为(0,2),直线BC的方程
3、为y=2因为 y=- x2+2,所以y=-x,所以y|x=t=-t, 所以直线AB的方程为y-(- t2+2)=-t(x-t), 即:y=-tx+ t2+2,令y=0得, 所以A( ,0). 令y=2得,x= t,所以B( t,2), 所以,令S=0得t= .故当t= 时,S有最小值为 所以梯形ABCD的面积的最小值为,【方法技巧】 1解决面积、体积最值问题的思路 解决面积、体积的最值问题,要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值 2.利用导数解决优化问题的基本思路,3.解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值
4、范围,即函数的定义域. (2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.,【变式训练】某出版社出版一读物,一页上所印文字占去150cm2,上、下要留1.5cm空白,左、右要留1cm空白,出版商为节约纸张,应选用怎样尺寸的页面? 【解题指南】设所印文字区域的左右长为x cm,确定纸张的长与宽,表示出面积,利用导数,确定函数的单调性,即可求得结论,【解析】设所印文字区域的左右长为x cm,则上下长为 cm,所以纸张的左右长为(x
5、+2)cm,上下长为( + 3)cm,所以纸张的面积S=(x+2)( +3)=3x+ +156所以S= ,令S=0解得x=10 当x10时,S单调递增;当0x10时,S单调递减 所以当x=10时,Smin=216(cm2),此时纸张的左右长为12 cm,上下长为18 cm 故当纸张的边长分别为12 cm,18 cm时最节约,【补偿训练】已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,SA=a,则此三棱锥体积的最大值是_. 【解题指南】说明点S在底面ABC上的射影O为ABC的垂心,三棱锥S-ABC为正三棱锥,记SO=h(ha),求出AO,AB,表示出f(h),通过
6、导数求出函数的最大值.,【解析】因为点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心,所以点 S在底面ABC上的射影O为ABC的垂心;又ABC为正三角形, 所以O为ABC的中心,即三棱锥S-ABC为正三棱锥记SO=h(h a),则AO= ,于是有AB= ,记三棱锥S-ABC 的体积为f(h),则f(h)= (a2-h2)h,f(h)= (a2-3h2), 所以f(h)max= 答案:,类型二 用料(费用)最省问题 【典例2】(1)圆柱形金属饮料罐的容积一定,要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省,它的高与底面半径比为_.,(2)某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中
7、心每块球场的建设面积为1000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=800(1+ ln x)来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场?,【解题探究】1.题(1)中圆柱形金属饮料罐容积一定,底面半径和高有什么关系? 2.题(2)中解决用料(费用)最省问题的关键是什么? 【探究提示】1.V=R2h,即 2.解决用料(费用)最省问题的关键是选取合适的量作为自变量,把要求解的问题表示成自变量的函数,再利用导数求出最小值.,【自主解答】(1)设
8、圆柱形饮料罐的高为h,底面半径为R, 则表面积S=2Rh+2R2.由V=R2h, 得h= ,则S(R)= = +2R2,令S(R)= 解得R= 从而 即h=2R,因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值,当饮料 罐的高与底面直径相等,即hR=21时所用材料最省. 答案:21,(2)设建成x个球场,则1x10,每平方米的购地费用为 元, 因为每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)= 800(1+ ln x)来表示,所以每平方米的综合费用为g(x)= f(x)+ =800+160ln x+ (x0),所以g(x)= (x0), 令g(x)=0,则x=8,当0x8时,g(x)0,当x8
9、时, g(x)0,所以x=8时,函数取得极小值,且为最小值 故当建成8座球场时,每平方米的综合费用最省,【延伸探究】若把题(1)中的条件改为圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S,要使它的容积最大,它的高与底面半径的比为_. 【解题指南】先写出饮料罐的高与底面半径的关系,再把饮料罐的体积表示成底面半径的函数,利用导数求出饮料罐容积最大时满足的条件,再求高与底面半径的比.,【解析】因为S=2Rh+2R2,所以 所以V(R)= = (S-2R2)R= SR-R3, V(R)= S-3R2=0,得S=6R2, 当S=6R2时,容积最大, 此时6R2=2Rh+2R2即hR=21. 答案:21,【方法技巧】利
10、用导数解决生活中优化问题的四个步骤,【变式训练】统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为 ,x(0,120,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以多少千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少. 【解题指南】根据题意求出总耗油量h(x)与速度x的关系式,再利用导函数求出h(x)的极小值判断出就是最小值即可,【解析】当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为h(x)升, 依题意得h(x)= h(x)= 令h(x)=0,得x=80 当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是减函数; 当x(80,120
11、)时,h(x)0,h(x)是增函数,所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=1125 因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以它是最小值故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为1125升,【补偿训练】(2014南京高二检测)如图, 现要在边长为100 m的正方形区域ABCD内建 一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为 圆心,在四个角分别建半径为x m(x不小于 9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.,(1)求x的取值范围.(运算中 取1.4) (2)
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