化工应用数学 4第四章 量纲分析PPT.ppt
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1、第四章 量纲分析,任课老师:程道建 副教授 E-mail: ,1.单位和量纲,单位:度量同一物理量的大小。 如长度有 m、cm、mm, 时间有 h、min、s。,量纲(因次):物理量的种类。 如长度用L,时间T,质量M,无论量的大小都用同一符号表示。,量纲分析,基本量纲:相互独立的量纲,相互之间不能导出,而其它量的量纲可由基本量导出。一般取长度L、时间T、质量 M、温度,导出量纲:其它物理量的量纲可由基本量纲导出,例如速度量纲 ,面积 , 压强 ,单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例,任何物理量都有量纲,基本量纲用大写字母表示,如下表 表 1 基本量纲 每个基本量纲都有一个基本单位,该基本单位与
2、单位制有关。下表为两种主要单位制 表 2 国际单位制和英制单位,去年考题:写出任意5个基本单位及量纲,为了便于描述物理量,复合单位应运而生,例如 和 。下表列出了常用前缀 表 3 复合单位的前缀 最后一种单位是导出单位。它是基本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表 表 4 导出单位与量纲,单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例,去年考题:推导五个导出单位及量纲,例子. 钟摆的量纲分析 下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图) 表 5 钟摆参数 希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式 的函数 (4) 或 (5) 由之前讲到的两条基本规则可知,上面函数的每
3、一项必须为时间量纲。这就意味着式(5)应该和质量无关,因为没有能消除质量量纲的互补项!这样,函数简化为 (6),如果长度 出现在式(6)中,则必须用 除 以消除长度量纲,即 (7) 也就是说,如果长度出现在式(6)中,那么必然以 的形式出现。这样式(6)变为 (8) 又 (9) 且, 是无量纲的,因此 (10) 上式中量纲不能为函数 提供任何信息。接下来,我们只需要测定不同 和 时钟摆的行为了,而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析缩短了实验的进程。而且,对实验数据的分析时,我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将 对 作图,这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现,当摆幅较小
4、时( ),周期与摆幅无关,也就是说 和 之间为线性关系,斜率为 。因此,任何摆钟运动由以下简单的函数形式 (11),2.量纲分析法,量纲分析法是将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量。利用 定理使无量纲综合量构成函数关系,该关系式反映了物理量之间的内在规律,并使自变量的个数减到最少。,无量纲综合量:由n个物理量组合成的无量纲数称之。用 表示。例如:,表示无量纲综合量,解出有理数m可得 项。,白金汉定理:设某个物理现象与n个物理量有关 q1,q2,qn,这n个物理量的函数关系为F(q1,q2,qn)=0。若这n个物理量的基本量纲为m个,则这n个物理量可组成(n-m)个无量纲数1, 2, n-m
5、,这些无量纲数也存在函数关系 F(1, 2, n-m)=0。,去年考题:无因次数群推导(2题,25分),例子. 步行的量纲分析 由于人的构造是相似的,因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人的速度。通过分析,下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量 表 6 步行参数 现在用量纲分析来指导步行数据的测量和分析。先回想一下钟摆的分析思路: 以上的分析过程简单直观,但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法无量纲分析法。 把式(11)写成 (12) 上式就是一个无量纲的式子。,一个无量纲的项称为 数群。现在要寻找一个能够描述步行的 数群。如下 (13) 式中 是待定参数。式(13)的
6、量纲表达式为 (14) 由于 必须是无量纲的,所以有 (15) 从上式可知,质量对步行过程无贡献( )。上式剩2个方程4个未知数,有无穷的组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉 定律: (16) 因此,在此例中 。为了确定这2个无因次数群,还需以下规则,无因次数群数目( ) = 参数个数 - 量纲数目(方程数目),对于每个 数群,必须选择一个“核心变量”,核心变量是指出现在一个 数群中的参数。它是一个无因次数群的核心。我们的目的是: 寻找一个用无因次数群表示的函数形式。如 (17) 现在, 和 这两个 数群。这两个数群分别以速度和步长为核心变量。 : 该无因次数群包含 而不包含 。因
7、此 的指数项必须为0,即 。任选一数作为 的指数( )。故得 (18) 所以 (19) 上式的平方就是该数群的传统形式(弗劳数 ),且取该数群的平方不会影响分析结果。我们采用传统形式,即 (20),:该无因次数群包含 而不包含 。同上面的分析有 和 。故得 (21) 所以 (22) 我们决定,将含步长的无因次数群作为含速度无因次数群的函数(反过来也一样): (23) (24) 对上式的解释: 对比步长是对比速度的函数。也就是说,平方按 进行了比例缩放,步长按腿长进行了比例缩放。通过这些缩放(动态比例缩放),使得所有步行者都满足式(24)普适关联式。也就是说,按照同样方法缩放步长,则一个8in与
8、一个6in的人,他们的步行可能是动态相似的。 对比步长与对比速度之间的确定关系不能从量纲分析中得到,这需要实验的测定以及数据分析。例如,做 的关于 的图。 步行者的弗劳常数越大,则步行速度就越快。,例:不可压粘性流体在水平直管中作定常运动,其压力损失 与下列因素有关 , 试用 定理确定 的规律。,1)由题意假定函数关系式:,2)写出无量纲方程:,取基本量纲为长度L、时间T质量 M由 定理可知,可写出(n-m)=4 个无量纲量,即无量纲方程为,3)取独立变量,选直径 d、速度 V、密度为独立变量,独立变量的量纲分别为:,其它几个变量的量纲为:,4)写出量纲方程,利用量纲和谐原理,方程两边量纲应相
9、等,解得:,令:,同理:,令:,解得:,同理,5)组成无量纲函数关系式,达西公式,考试题目举例,量纲分析设计工具 无因次数群之间的相互关系即设计工具。前面介绍到的对比步长与 的关系对于机器人是一种设计工具。根据量纲分析开发设计工具的过程如下图: 无因次数群之间的关联式很多,我们没必要记住所有的关联式,而重要的是,要知道如何应用动态相似原理来建立新的设计工具。,例子1 固体球在流体中运动的量纲分析 现在将量纲分析应用于另一种现象:球的终端速度。 例如: a. 水中淤泥的沉降。泥水澄清需要多长时间。 b. 空气中的灰尘。公司烟囱的灰尘会落在自己公司的地界上、附近城镇,还是落入海中?核冬天能持续多久
10、? c. 在流体中拖动一个球需要什么力? 在这些例子中,颗粒要么太小,要么终端速度太慢(核冬天预计可持续 ), 这样直接测量实际过程是不现实的。所以,考虑对一个方便可测的系统进行测定,并利用量纲分析将实验结果缩放到我们感兴趣但又无法进行实验的实际过程。 确定球在流体中的物理参数。通过分析得到如下参数表: 表 7 球在流体中运动的有关参数 备注1:球的密度归结到浮力当中了,流体的质量归结到流体密度当中了。 备注2:黏度量纲的计算: 剪应力/面积,现在确定这些无因次数群,任何数群都具有一般形式 (25) (26) 同样有, (27) 根据白金汉 定律: 。需要选定3个核心变量。选择核心变量的原则:
11、 a. 我们想知道什么?因变量是速度。 b. 在实验中,我们打算改变哪些参数? 通过分析可以选出3个核心变量,但此例中选择传统的核心变量,即, , 和 。下面来推导 数群。,: 包含 ,但不包含另外两个核心变量。同理有 , 和 。 故有 (28) 所以 (29) 即,浮力按照流体密度进行了缩放,不妨称为对比浮力。 :包含 ,但不包含另外两个核心变量。同理有 , 和 。故有 (30) 所以 (31),所以 (32) 上式的倒数即是弗劳德数 。上式取倒数不会影响分析结果,而且取倒数便于与类似的系统进行分析比较,所以式(32)采用其倒数形式 惯性力/重力 (33) :数群包含 ,但不包含另两个核心变
12、量。同理有 , 和 。故有 (34) 所以, (35) 取上式的倒数并不会影响分析结果,上式变为 (36),式(36)也许是最著名的无因次数群雷诺数 。与上面的弗劳德数一样,雷诺数也可以表示为两个力之比 惯性力/黏性力 (37) 到这里之后,量纲分析不能给我们带来更多的东西了。现在需要通过实验测定和数据分析才能得出对比浮力、弗劳德数和雷诺数之间的关系。 下面直接给出相关结果: a. 当 时,球体在流体中处于层流区域,函数形式为: (斯托克斯定律) (38) b. 当 时,球体在流体中处于过渡流区域,函数形式为: (39) c. 当 时,球体在流体中处于湍流区域,函数形式为: (牛顿阻力定律)
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