高中数学复习课件:抛物线.ppt
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1、1.抛物线的定义:平面内到一定点F的距离与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 (1)方程y2=2px(p0),x2=2py(p0)叫做抛物线的标准方程,其中“”号决定抛物线的开口方向.,(2)抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标是( ,0),准线方程x=- ,开口向右; 抛物线y2=-2px(p0)的焦点坐标是(- ,0),准线方程x= ,开口向左; 抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标是(0, ),准线方程y=- ,开口向上; 抛物线x2=-2py(p0)的焦点坐标是(0,- ),准线方程y= ,开口向下.,
2、(3)抛物线y2=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 抛物线y2=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离,3.抛物线的几何性质 (1)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴,只有一条;抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,只有一个;抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率,其值为1. (2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ,顶点到准线的距离 ,焦点到准线的距离为p.,(3)已知过抛物线y2=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 =x1+
3、x2+p或 (为直线AB的倾斜角),y1y2=-p2,x1x2= ( 叫做焦半径).,1.已知抛物线 则它的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 抛物线的标准方程为 焦点在y轴上,其坐标为(0, ),选D. 易错点:研究抛物线的几何性质时,方程必须是标准方程.,D,2.若抛物线 的准线过双曲线 的左焦点,则p的值为( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 双曲线 的左焦点为(-2,0),抛物线y2=2px的准线方程为 所以有 所以p=4,选A.,A,3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点F的距离为( ) A.2 B.3 C.4 D.5,D,解法1:y=4代入x2=4
4、y,得x=4, 所以A(4,4),焦点坐标为(0,1), 由两点间距离公式知距离为 解法2:抛物线的准线方程为y=-1,所以A到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A到焦点的距离相等,所以距离为5,选D.,4.已知抛物线过点P(-1,2),则抛物线的标准方程为 . 当焦点在y轴上时,方程可设为x2= my,因为过点P(-1,2),所以m= ,方程为x2= y;当焦点在x轴上时,方程可设为y2=nx,因为过点P(-1,2),所以n=-4,方程为y2=-4x.填x2= y或y2=-4x. 易错点:求抛物线的标准方程,应分析焦点所在的位置.,5.已知过点M(2,2)的直线l与抛物线C:y2=4x交
5、于A,B两点,且M是线段AB的中点,则弦长 = . 显然直线l的斜率必存在,设l:y-2=k(x-2), y-2=k(x-2) y2=4x,,则由,,消去x得 y2-y+2-2k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M是线段AB的中点, 所以 得k=1, 则 y2-y=0,得y=0或y=4. 所以A(0,0),B(4,4), 所以 填,重点突破:抛物线的定义及其应用 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又点A(3,2),求 的最小值,并求取最小值时点P的坐标. 由定义知,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离,求 的问题可转为求 的问题.,将x=3代入抛物线方
6、程y2=2x,得y= . 因为 2,所以A在抛物线内部. 设抛物线上的点P到准线l:x=- 的距离为d, 由定义知 当PAl时, 取到最小,为 .此时点P(2,2). 即 的最小值为 ,且P(2,2).,重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的主要途径.,在抛物线y2=4x上求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.,如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1,由抛物线的定义知,点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离,,于是问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距
7、离与点P到F(1,0)的距离之和最小,显然,连接AF交曲线于P点时有最小值为 即 .,重点突破:抛物线的标准方程及其几何性质 如图,抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A在抛物线上,其横坐标为4,且位于,x轴上方,A到抛物线准线的距离为5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. ()求抛物线的方程, ()过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标.,()利用点A到准线的距离可求得P. ()可求点A的坐标,联立两直线方程,看求得交点N的坐标. ()抛物线y2=2px(p0)准线为x=- ,于是4+ =5,所以p=2,所以抛物线的标准方程y2=4x.,()由()得点A的坐标是(4,4),由
8、题意得B(0,4),M(0,2),又因为F(1,0),所以kFA= , 因为MNFA,所以kMN=- ,则FA所在的直线方程为y= (x-1),MN所在的直线方程为y-2=- x, y= (x-1) y-2=- x,解方程组,得,所以,求抛物线的标准方程常采用待定系数法,利用已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值.,抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点P(m,-3)到焦点的距离为5,求抛物线的准线方程. 由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p0),因为P(m,-3)到焦点的距离为5, 所以P到准线的距离为 +3=5,所以p=4. 所以抛物线的准线方程为y=2,填y=2.,重点突
9、破:直线与抛物线的位置关系 如图:AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,l是抛物线的准线,设A(x1,y1),B(x2,y2).,求证:()y1y2=-p2,x1x2= ;() ()设BB1l,B1为垂足,则A、O、 B1三点共线.,()设出直线AB的方程,与抛物线方程联立,消去x得关于y的一元二次方程,结合韦达定理及点A、B在抛物线上,可求得. ()由焦点弦公式可求得. ()要证A、O、B1三点共线,只要证明点B1在直线OA上即可.,()由已知直线AB的方程为y=k(x- )与y2=2px联立,消去x,得:ky2-2py-kp2=0(k0), 根据韦达定理,y1y2=-p2. 因为
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