《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础)知识讲解.doc
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1、有理数及其运算全章复习与巩固【知识网络】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类: (1)按定义分类: (2)按性质分类:要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;(2)有理数“0”的作用:作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示表示某种状态 表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负,是一个中性数2数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0 要点诠释:
2、(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负4绝对值:(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0 数a的绝对值记作 (2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离要点二、有理数的运算 1 法则:(1)加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝
3、对值一个数同0相加,仍得这个数2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数即a-b=a+(-b) 3)乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘任何数同0相乘,都得04)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数即ab=a(b0) 5)乘方运算的符号法则:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是06)有理数的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“”号的个数,例如:(3)=3
4、,+(3)=3(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(3)(2)(6)=36,而(3)(2)6=36(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: , 2运算律: (1)交换律: 加法交换律:a+b=b+a; 乘法交换律:ab=ba;(2)结合律: 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); 乘法结合律:(ab)c=a(bc) (3)分配律:a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大
5、于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法(4)作商比较法;(5)倒数比较法要点四、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式(其中1,是正整数),此种记法叫做科学记数法例如:200 000=【典型例题】类型一、有理数相关概念1若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身则这个数分别为(1)_;(2)_;(3)_;(4)_;(5)_ 【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1 【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全 【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念举一反三:【变式】(1)
6、的倒数是 ;的相反数是 ;的绝对值是 -(-8)的相反数是 ;的相反数的倒数是_.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-58元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin(4) 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则_ 【答案】(1); ; ;-8;2 (2)降价58元,702 元;(3);(4)3;2如果(x-2)2+|y-3|0,那么(2x-y)2005的值为( ) A1 B-1 C22006 D32005【思路点拨】利用非负数
7、的性质,求出的值再代入计算【答案】A【解析】 因为(x-2)2,|y-3|都是非负数,且(x-2)2+|y-3|0, 所以由非负数的性质先求出x=2,y =3的值,代入得: (2x-y)2005=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性3在下列两数之间填上适当的不等号: _【思路点拨】根据“a-b0,a-b0,a-b0分别得到ab,ab,ab”来比较两数的大小【答案】 【解析】解法一:作差法由于,所以解法二:倒数比较法:因为所以举一反三:【变式】比较大小:(1)_0.001; (2)_-0.68【答案】(1) (2)类型二、有理数的运算4(1)(12)5+(14)(39)(2)32
8、(3)2+3(2)+|4|(3)(4)【答案与解析】解:(1)(12)5+(14)(39)=12514+39=31+39=8(2)32(3)2+3(2)+|4|=996+4=16+4=3(3)=606060=10258=23(4)=()()32=232=30=24(5) 举一反三:【变式】计算:(1)(2)【答案】解:(1)(2)=-16+4-31=-15类型三、数学思想在本章中的应用5(1)数形结合思想:有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系 A-aa1 B1-aa C1-aa Da1-a (2)分类讨论思想:已知|x|5,|y|3求x-y的值 (3)转化思想:计算:【答
9、案与解析】解:(1)将-a在数轴上标出,如图所示,得到a1-a,所以大小关系为:a1-a 所以正确选项为:D(2)因为| x|5,所以x为-5或5 因为|y|3,所以y为3或-3当x5,y3时,x-y5-32 当x5,y-3时,x-y5-(-3)8 当x-5,y3时,x-y-5-3-8 当x-5,y-3时,x-y-5-(-3)-2 故(x-y)的值为2或8(3)原式=【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“
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