带原点位移的QR方法.ppt
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1、1,8.4.2 带原点位移的QR方法,定理20中 的速度依赖于比值 ,,当 很小时,收敛较快,如果 为 的一个估计,且对 运用QR算法,则 元素将以收敛因子 线性收敛于零, 元素将比在基本 算法中收敛更快.,为了加速收敛,选择数列 ,按下述方法构造矩阵 序列 ,称为带原点位移的QR算法.,设,对 进行QR分解,形成矩阵,2,求得 后,将 进行QR分解,(4.4),形成矩阵,(4.5),如果令 ,则有 , 并且矩阵 有QR分解式,在带位移QR方法中,每步并不需要形成 和 ,可按 下面的方法计算:,首先用正交变换(左变换)将 化为上三角阵, 即,3,(当 为上海森伯格阵或对称三对角阵时, 可为平面
2、旋转阵), 则,下面考虑用QR方法计算上海森伯格阵的特征值.,设 为上海森伯格阵,即,如果 ,则称 为不可约上海森 伯格阵.,4,设 ,由定理17可选正交阵 使 为上海森伯格阵,对 应用QR算法.,QR算法:,对于,(4.6),假设由(4.6)迭代产生的每一个上海森伯格阵 都是不可 约的,否则,若在某步有,5,于是,这个问题就分离为 与 两个较小的问题. 当 或 时,有,或,6,即可求出 的特征值 或 (由 右下 角二阶阵的特征值求得),且求 的其余特征值时,转化 为降阶求 的特征值.,实际上,每当 的次对角元适当小时,就可进行 分离. 例如,如果,就把 视为零.,一般取 ,其中 是计算中有效
3、数字的位数.,7,8.4.3 用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值,上海森伯格阵的单步QR方法:选取 并设,对于 (用位移来加速收敛),由 实际计算为,8,(1) 左变换:,(2) 右变换:,其中 为平面旋转阵.,(1) 左变换计算,确定平面旋转阵 使,9,设已完成第1次, 第 次左变换,即有,(4.7),确定平面旋转阵 ,使 变为0,且 完成第 次左变换 计算(只,10,需计算(4.7)阵第 行及第 行元素).,继续这一过程,最后有,(2) 右变换计算,在第 次右变换 中,只需计算 第 列及第 列元素.,最后,11,由上述讨论指出,如果 为上海森伯格阵,则 用QR算法产生的 亦是上海森伯格阵
4、. 即 上海森伯格阵在QR变换下形式不变.,讨论一个极端的情况,定理22 设:(1) 为不可约上海森伯格阵; (2) 为 一个特征值. 则QR方法,12,中,证明 记,由设 为不可约阵,则上海森伯格阵 亦为不可约.,由将上海森伯格阵 约化为上三角阵 的平面旋转 变换的取法可知,13,又因为 为奇异矩阵,从而得到 . 因此, 的最后一行为 ,即,这样在QR方法迭代中,参数 可选为 ,即 的 元素. 通常可以作为特征值的最好近似.,算法3(上海森伯格阵的QR算法)给定 为上 海森伯格阵,本算法计算,且 覆盖,14,15,如果用不同的位移 ,反复应用算法3就产生正 交相似的上海森伯格阵序列 . 当
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- 原点 位移 QR 方法
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