等差数列及其应用.ppt
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1、2019/3/20,1,等差数列及其应用,2019/3/20,2,目 录,一、等差数列,二、通项公式,三、等差数列求和,四、等差数列的应用,2019/3/20,3,是一队数列且相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d表示。,2019/3/20,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,3,5,7,9,11,13. 2,4,6,8,10,12,14 3,6,9,12,15,18,21. 100,95,90,85,80,75,70. 20,18,16,14,12,10,8.,2019/3/20,5,像这些数列就是几位等差数列。 数列中,d
2、=2-1=3-2=4-3=1; 数列中,d=3-1=5-3=13-11=2; 数列中,d=4-2=6-4=8-6=.=2; 数列中,d=6-3=9-6=21-18=3; 数列中,d=100-95=95-90=75-70=5; 数列中,d=20-18=18-16=10-8=2.,2019/3/20,6,例1下面的数列中,哪些是等差数列?若是, 请指明公差,若不是,则说明理由.,6,10,14,18,22,98; 1,2,1,2,3,4,5,6; 1,2,4,8,16,32,64; 9,8,7,6,5,4,3,2; 3,3,3,3,3,3,3,3; 1,0,1,0,l,0,1,0;,2019/3/
3、20,7,解:是,公差d=4. 不是,因为数列的第3项减去第2项 不等于数列的第2项减去第1项. 不是,因为4-22-1. 是,公差d=l. 是,公差d=0. 不是,因为第1项减去第2项不等于 第2项减去第3项.,2019/3/20,8,为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列的第1项记为a1,第2项记为a2,第n项记为an。an又称为数列的通项;a1又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项.,2019/3/20,9,对于公差为d的等差数列a1,a2,an来说,如果a1小于a2,则显然a2-a1=a3-a2=.=an-a(n-1)=d,因此 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a
4、1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d . 由此可知:an=a1+(n-1)d (1) 若a1大于a2,则同理可推得:an=a1-(n-1)d (2) 公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式,利用通项公式,在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.,2019/3/20,10,例2 求等差数列1,6,11,16的第20项.,解:首项a1 =1,又因为a2;大于a1;, 公差d=6-1=5,所以运用公式(1)可知: 第20项a20=a1+(20-1)5=1+195=96.,2019/3/20,11,一般地,如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量,如:由通项公
5、式,我们可以得到项数公式: n=(an-a1)d+1(若an大于a1) 项数 (3) n=(a1-an)d+1(若a1大于an),2019/3/20,12,例3 已知等差数列2,5,8,11,14,问47是其中第几项?,解:首项a1=2,公差d=5-2=3 令an=47 则利用项数公式可得: n=(47-2)3+1=16. 即47是第16项.,2019/3/20,13,练一练,如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.,2019/3/20,14,方法1:要求第8项,必须知道首项和公差. 因为a4=a1+3d,又a4=21,所以a1=21-3d又a6=a1+5d,又a6=33,所
6、以a1=33-5d所以:21-3d=33-5d, 所以d=6 a1=21-3d=3, 所以 a8=3+76=45. 方法2:考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d,其中a6已知,只要求2d即可. 又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d, 所以 2d=a6-a4 d=6 所以a8=33+26=45,2019/3/20,15,若a1 小于a2,则公差为d的等差数列 a1,a2,a3an可以a1,a1+d,a1+d2, a1+d(n-1).所以,容易知道: a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2) =a4+an-3=a(n-1)+a2=an+a1. 设 Sn=a1+a2+a3
7、+an 则 Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+a1 两式相加可得: 2Sn=(a1+an)+【a2+a(n-1)】 +(an+a1) 即:2Sn=n(a1+an),所以, Sn=n(a1+an)2 (4),2019/3/20,16,例4 计算 1+5+9+13+17+1993.,因为1,5,9,13,17,1993是一个等差数列,且a1=1,d=4,an=1993. 所以,n=(ana1)d+1=499. 所以,1+5+9+13+17+1993 =(1+1993)4992 =997499 =497503.,2019/3/20,17,根据这一题,我们可以得出: 对于任意一个项数为奇数的等差
8、数列来说,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。 这个定理称为中项定理.,2019/3/20,18,练一练,建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?这堆砖共有多少块?,2019/3/20,19,练一练,如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10,14, 容易知道,这是一个等差数列. 方法1:a1=2, d=4, an=2106, 则n=(an-a1)d+1=527 这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+(264-1)
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- 等差数列 及其 应用
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