邓美愉2011年6月.ppt
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1、鄧美愉 2011年6月,球體體積,課程的要求,理解及運用公式計算和球形的體積,實驗方法,倒沙 /水 圓柱體體積 = 球體體積 球體體積 = (r2)(2r)=, r3,疑問,除微積分外,如何向學生解釋球體體積公式? 在中國歷史上,何時出現球體體積公式?,I. 球體體積公式 九章算術卷第四 少廣篇,原文 二三今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何? 答曰:二十尺。 開立圓術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。,即,?,4500立方尺,如何求得球體體積 ? 如何求圓的面積?,九章算術如何得球體體積,方法1: 用實物測量方法,徽注:黃金方寸,重十六兩。金丸徑寸,重九兩。,由此,球體體
2、積 =,1寸,九章算術如何得球體體積,劉徽由圓面積及正方形面積的率作解釋,圓面積:正方形面積 3:4,方法2: 圓面積與正方形面積之關係 截面原理,九章算術卷第一 方田篇,原文 三一今有圓田,周三十步,徑十步。問為田幾何。 術曰:半周半徑相乘得積步。 又術曰:周徑相乘,四而一。 又術曰:徑自相乘,三之,四而一。 又術曰:周自相乘,十二而一。,譯文 三一現有圓形田,圓周為30步,直徑為10步,問田的面積是多少? 答:75平方步。 算法一:以圓周之半與半徑相乘可得到圓田的面積,即 換言之,即 算法三:直徑與直徑相乘,乘以3除以4,即 換言之,即,10步,30步,九章算術如何得球體體積,徽注: 為術
3、者,蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三,圓囷居立方亦四分之三。 更令圓囷為方率十二,為丸率九,丸居圓囷又四分之三也。 置四分自乘得十六分,三自乘得九,故丸居立方十六分之九也。,由截面原理 圓柱體體積:正方體體積 = 圓面積:正方形面積 3:4,球體體積:圓柱體體積 9:12 = 3:4,球體體積:立方體體積=9:16,3 3:3 4,九章算術如何得球體體積,由截面原理 圓柱體體積:正方體體積 = 圓面積:正方形面積 3:4,球體體積:圓柱體體積 9:12 = 3:4,球體體積 =,截面原理,-幾何體為面疊積而成,II. 劉徽之牟合方蓋,劉徽表示:以周三徑一為圓率,則圓冪傷少,令圓囷為方率,
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