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1、第二十二章 一元二次方程,人教版初三数学(上) 说课:黄淑华,1、学习目标: (1)理解一元二次方程的概念,理解一元二次方程的一般 形式,会把一元二次方程化成一般形式。 (2) 掌握一元二次方程的四种解法,会用直接开平方法、 因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程,体会 它们相互之间的关系及其“转化”思想。 (3) 理解一元二次方程两根和、两根积与其系数的关系。 (4) 会列一元二次方程解应用题。进一步认识到方程是反 映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。在解决 实际问题中增强学数学、用数学的自觉性。,2、重点难点: 本章的重点是:掌握一元二次方程的各种解法, 体会相互之间的关系及其“转化
2、”的思想;会应用一元 二次方程解决实际问题。 本章的难点是:用配方法、公式法解一元二次方程; 一元二次方程应用题;一元二次方程根与系数的关系。,3、知识结构:,实际问题一元 二次方程,检验,第一节 一元二次方程,生活充满数学,数学源于生活,1、下列式子哪些是方程?,235 3x2 5x318 x2y5,没有未知数,不是等式,含有未知数的等式叫方程,含有未知数的等式叫方程,不是等式,方程的本质特征是什么?,复习,2、我们学过哪些方程?,一元一次方程、二元一次方程、分式方程。,3、什么叫一元一次方程?方程的“元”和“次”是什么意思?,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程
3、。,一元,一次,问题一:花边有多宽,一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图,它的长为m,宽为m如果地毯中央长方形图案的面积为m2 ,则花边多宽?,你怎么解决这个问题?,解:如果设花边的宽为xm , 根据题意得,(8 2x) (5 2x) = 18.,即2x2-13x+11 = 0.(1),问题二:生活中的数学,如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?,解:如果设梯子底端滑动x m,根据题意得,72+(x+6)2=102,即 x2+12x-15=0(2),综合观察:,2x2-13x+11 = 0 (1),x2+12x
4、-15=0 (2),总结(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2,一元二次方程的定义:,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一个方程必须同时满足以下三个条件,才是一元二次方程: (1)是整式方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是2。 不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。,一元二次方程的一般形式:,一元二次方程通常可写成如下的一般形式:,ax2+bx+c=0(a0),特征:方程的左边按x的降幂排列,右边0,其中a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。,(2) 注意a0这个限制条件。它
5、是一元二次方程一般 形式的一个重要组成部分。即关于x的方程ax2bxc0 只有当a0时,它才是一元二次方程;若a0,b0时, 它是x的一元一次方程。反之,如果明确指ax2bxc0 是一元二次方程,则必定a0。,(3)b、c的值可取一切实数。若b0时,则为ax2c0;若c0时,则为ax2bx0;若b0且c0时,则为ax20,它们都是一元二次方程。 (4)一元二次方程的概念中“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2”这句话是针对化成一般形式之后的方程而言的,如x22x1x2,化简后为2x10,它是一个一元一次方程,而不是一元二次方程。,实战练习: 例1 下列方程哪些是一元二次方程?哪些不是一元
6、二次方程? (1)2(2x1)x2;(2)x22y10; (3) x=2; (4)(x21)22(x21)30.,分析:(1)化为一般形式为x24x20,故它是一元二次方程;(2)中含有两个未知数;(3)是分式方程;(4)中x的最高次数是4,故不是一元二次 方程。,强调: 同时满足: (1)是整式方程。 (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是2这三个条件的方程才是一元二次方程。,实战练习:,例2.说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项: (1) x2十3x十2=O (2) x2-3x十4=0 (3)3 x2-5=0 (4)4 x2十3x-2=0 (5)3 x2-5=0
7、 (6)6 x2-x=0,实战练习:,例3.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项: (1)6x 2 =3-7x; (2)3x(x-1)=2(x+2)-4; (3)(3x+2) 2 =4(x-3),分析:通过去括号、移项、合并同类项可将方程化成一般形式。,例4已知方程 (m2) (m2)x40 (1)m为何值时它是一元二次方程? (2)m为何值时它是一元一次方程?,分析:(1)由一元二次方程的一般形式,m222,故m20,故m2; (2)需分三种情况讨论:m20,此时m2;m221,此时m ;显然x0,故若m220,则原方程也是一元一次方程,应用拓展:,解:(1)由m222,m20 得m2; (2)分三种情况讨论:,一元二次方程中未知数的最高次数是2,且二次项系数不为0。,m20,即m2时,原方程为4x40,是一元一次方程; m221,即m 时,原方程为 2 x40,是 一元一次方程; 显然x0,否则有40;故当m220,即m 时, 原方程为( 2)x6 0,也是一元一次方程。 综上:当m2时,它是一元二次方程;当m2, , 时,它是一元一次方程。,否则有4=0,谢谢!,
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