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1、1直线与圆的三种位置关系 在图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和O是什么位置关系?,(一)复习、发现问题,观察下列两图形并回答: (1)图中直线L1.L2.L3均与半径OA垂直,当垂足在什么位置时,直线是圆的切线?为什么?,A,(2)图中直线a b c 均过半径OA 的外端点, 直线与OA 成什么角 时, 直线是圆O的切线?为什么?,发现:(1)直线l经过半径OA的外端点A; (2)直线l垂直于半径0A 这时,直线l是圆的切线.,(二)切线的判定定理 切线的判定定理: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,切线需满足两条件: 经过半径外端; 垂直于这条半径,问题:定理中的两个条件
2、缺少一个行不行?,图(1)中直线l经过半径外端,但不与半径垂直;图(2)(3)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端 从以上反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线必需同时满足,二者缺一不可,应用定理,强化训练 例1 已知:直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CACB 求证:直线AB是O的切线,分析:欲证AB是O的切线由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OCOB.,例2 如图2.已知OAOB5厘米,AB8厘米,O的直径为6厘米. 求证:AB与O相切,分析:因为已知条件没给出AB和O有公共点,所以可过圆心O作OCAB,垂足为C.只需证明OC等于O的半径3厘
3、米即可.,证明:连结0C 0A0B,CACB, 0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线 ABOC 直线AB经过半径0C的外端 C 并且垂直于半径0C, 所以AB是O的切线,想一想: 以上两例辅助线的做法是否相同?有什么规律呢?,(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为:有交点,连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为:无交点,作垂直,证半径。,练习1 判断下列命题是否正确 (1)经过半径外端的直线是圆的切线 ( ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线 (
4、) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径 的直线是圆的切线 ( ) (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线 ( ) (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的 高为 半径的圆与底边相切 ( ),练习2. 已知 ,AB 是O 的直径, 点D在AB 的延长线上DB=OB,点C在圆上,CAB=300,求证:DC是O的切线,(四)巩固练习,练习:如图AB是O的直径,B45,ACAB。 AC是O的切线吗?为什么?,解:AC是O的切线 。理由如下:,又BACBC 180, ACAB , B45(已知), 直线ACAB,又直线AC经过O 上的A点,直线AC是O的切线,CB45(等边对等角), BAC 180-
5、B-C90,A,B,C,证明:连结OP。 AB=AC,B=C。 OB=OP,B=OPB, OPB=C。 OPAC。 PEAC, PEC=90 OPE=PEC=90 PEOP。 PE为0的切线。,如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交边BC于P, PEAC于E。 求证:PE是O的切线。,练 习,O,A,B,C,E,P,如图AB是O的直径.AE是弦, EF是O的切线,E是切点,AFEF, 垂足为F,AE平分FAB吗?,A,例3,如图CB是O的切线,C是切点,OB交O于D, B30,BD=6cm,求BC,C,O,B,D,例4,.,A,C,B,P,O,练习:如图,点P在0外,PC是0的切线,切点是C.直线PO与0交于A、B,试探求P与A的数量关系.,课堂小结,1. 判定切线的方法有哪些?,直线l,与圆有唯一公共点,与圆心的距离等于圆的半径,经过半径外端且垂直这条半径,l是圆的切线,2. 常用的添辅助线方法?,直线与圆的公共点已知时,作出过公共点的半径,再证半径垂直于该直线。(连半径,证垂直) 直线与圆的公共点不确定时,过圆心作直线的垂线段,再证明这条垂线段等于圆的半径。(作垂直,证半径),l是圆的切线,l是圆的切线,
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