2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题5:定值问题.doc
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1、赵老师2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编专题5:定值问题1. (2012江西南昌8分)如图,已知二次函数L1:y=x24x+3与x轴交于AB两点(点A在点B左边),与y轴交于点C(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究二次函数L2:y=kx24kx+3k(k0)写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由【答案】解:(1)抛物线,二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,1)。(2)二次函数L2与L1有关图象的
2、两条相同的性质:对称轴为x=2;都经过A(1,0),B(3,0)两点。线段EF的长度不会发生变化。直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,kx24kx+3k=8k,k0,x24x+3=8。解得:x1=1,x2=5。EF=x2x1=6。线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题,二次函数的性质。【分析】(1)抛物线y=ax2+bx+c中:a的值决定了抛物线的开口方向,a0时,抛物线的开口向上;a0时,抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解。(2)新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。联立直线和抛物
3、线L2的解析式,先求出点E、F的坐标,从而可表示出EF的长,若该长度为定值,则线段EF的长不会发生变化。2. (2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;记DGP的面积为S1,C
4、DG的面积为S2试说明S1S2是常数;当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.【答案】解:(1)CGAP,CGD=PAG,则。GF=4,CD=DA=1,AF=x,GD=3x,AG=4x。,即。y关于x的函数关系式为。当y =3时,解得:x=2.5。(2),为常数。(3)延长PD交AC于点Q.正方形ABCD中,AC为对角线,CAD=45。PQAC,ADQ=45。GDP=ADQ=45。DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。,化简得:,解得:。0x2.5,。在RtDGP中,。【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三
5、角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。(3)延长PD交AC于点Q,然后判断DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在RtDGP中,解直角三角形可得出PD的长度。3. (2012山东潍坊11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(2,O)、B(2,0)、C(0,l)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0,2)作平行于x轴的直线、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON为直径的圆与直线相切; (3)求线段MN的长
6、(用k表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长【答案】解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2bxc,则 解得。抛物线对应二次函数的解析式 所以。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),因为点M、N在抛物线上, ,x22=4(y2+1)。又,。又y2l,ON=2y2。设ON的中点E,分别过点N、E向直线作垂线,垂足为P、F, 则 ,ON=2EF,即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半,以ON为直径的圆与相切。(3)过点M作MHNP交NP于点H,则,又y1=kx1,y2=kx2,(y2y1)2=k2(x2x1)2。MN2=(1+k2)(x2一xl)2。又点M、
7、N既在y=kx的图象上又在抛物线上,即x24kx4=0,x2x1=4k,x2x1=4。MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2) (x2xl)24x2xl =16(1+k2)2。MN=4(1+k2)。延长NP交于点Q,过点M作MS交于点S,则MSNQ=y12y22= MS+NQ=MN,即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,直线与圆相切的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。(2)要证以ON为直径的圆
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