2014届高考数学一轮复习 第二章函数2.10函数模型及其应用教学案 理 新人教A版.doc
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1、2.10函数模型及其应用考纲要求1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a,b为常数,a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a,b,c为常数,a0)指数函数模型f(x)baxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a,b,c为常数,a0且a1,b0)幂函数模型f(x)axnb(a,b为常数,a0)(2)三种增长
2、型函数之间增长速度的比较指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0,)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长_xn的增长,因而总存在一个x0,当xx0时有_对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会_yxn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有_由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,)上,总会存在一个x0,使xx0时有_2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数
3、量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下:1下列函数中,随x的增大函数值增大速度最快的是()Ayex By100ln xCyx100 Dy1002x22006年8月30日到银行存入a元,若年利率为x,且按复利计算,到2014年8月30日可取回()Aa(1x)8元Ba(1x)9元Ca(1x8)元Da(1x)8元3在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:x1.99345.16.12y1.54.047.5
4、1218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()Ay2x2 By(x21)Cylog3x Dy2x24有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计)5里氏震级M的计算公式为:Mlg Alg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为_级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍一、一次函数与分段
5、函数模型【例11】已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地,到达B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数,则下列正确的是()Ax60t50t(0t6.5)BxCxDx【例12】根据市场调查,某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图(1)中的一条折线表示,销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示(tN*)(1)分别写出图(1)表示的价格与时间的函数关系Pf(t),图(2)表示的销售量与时间的函数关系Qg(t);(2)这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间方法提炼1在现实生
6、活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)2在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数提醒:分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起要注意各段变量的范围,特别是端点请做演练巩固提升5二、二次函数模型【例2】某加工厂需定期购买材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需
7、要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少,并求出这个最少总费用方法提炼1有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决提醒:在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域2形如f(x)kx(ka0)的函数,实际是正比例函数与反比例函数的“和”函数,根据其图象特点,通常称其为“对勾函数”,这种函数模型在现实生活中也有着广泛的应用
8、常常利用“基本不等式”求解,有时也利用函数单调性求解请做演练巩固提升1三、指数函数模型【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)方法提炼1指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示2应用指数函数模型时,关键是对模型的判断
9、,先设定模型将有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解4对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分:直线上升:匀速增长,其增长量固定不变;指数增长:先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增长速度缓慢公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长请做演练巩固提升4函数模型应用解答题的规范解答【典例】(12分)请你设计一个包装盒如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形
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