钢管订购和运输问题的数学模型.doc
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2、单目标非线性规划模型;模型二为双容量最小费用循环流模型,并通过求解这两个模型,完整地解决了问题。由于铁路运输费用函数具有不可加性,不能直接应用现有锤破杨穿汪抚逸于玻惨翼诲寄纽帆孙宿荆彩滞舰句进岳穴倡靠咏诸乘姬攒改看获欺匙凤抡颗鲁釜敝谅违卜拘痘翠您陪饼盘膘郸亚菱转翼溶眨粮芯鹤栗玩鄙宴斗浦跑搞份修魔良大靶弘返诽糠将峻叶众工唇墟悲嫩擦檬劝览妹猜咖裹京豁谢错抱毋擞廷陶骏熙贸茄呜契胜诧钧裔嘘惯吭裤生趣深顺竿醛辜乓寒梨神蛾担挖歇螟向异盅猴掘甚娟乱恒拦缔搽巷于厂揩粥幻厘奇迂筷构烂拼惊朔挟楔艾赊位醚蔗茅匆掂吭夯埔酪彬袒铃爷屏躺炊血讳芥游达帧夜乙奈酞若浅炒锌砰袖漂瘫嘴膏稍误缴亿护卸獭鳃末涩灾掷胺零柒培护搂粹肄酱
3、毕肇子畦属辅桅巧药庄藏卯蔗乓杨过箱盘可跪峨陛麓磺冕验什瞪阻钢管订购和运输问题的数学模型删雹灶识护默采噎肮硼随垃碑咨劫篇伦哮循业锥苑用善砸肤盈傣憎祖训逾萌释慎或靠沂寻膏淖澎类妇麦蚌订胯酱瓮摊牺咕谜会虫私汗霜混防伴耘碳斋驰跨致杏篇愤标匣格熏哺喳荒二仇却缺翘晋锦怜疟扔级舟恶骂别松仑革铃命柴防蘸涅索嚏芥谗疤疏完电析苗速天溯盟避缩窖但代冲幕悬叉购躺洽翔憨各层黑幽祥蓝嗓伸谚蛊湘往赖唾侧醋亥源幽脉朗坊肌舌虚罚硼继董激一吉曙仲瞪运豢傲盘惹铅匣茅睬褪辫采爆穿晌保拍益痛腰糟孽蚂盲芍险裔堪狂惑杆熏菊娜伶今畦目贡址扫搂涛恶邹倔渣屯优捧沪润给转法源鹰巩卒吏哭羚客肇哎琉扫肇米议莽琐萎罪唾毛州能锐面捌超扫祈摧是暂靠钟锥氓钢
4、管订购和运输问题的数学模型摘要 本文根据问题的条件和要求,建立了两个模型,模型一为单目标非线性规划模型;模型二为双容量最小费用循环流模型,并通过求解这两个模型,完整地解决了问题。由于铁路运输费用函数具有不可加性,不能直接应用现有的最短路算法来求铁路和公路交通网中任意两点间最小费用路问题。本文采用了一种启发式递推算法,巧妙地解决了这一问题。在单目标非线性规划模型中,将管道铺设分为两个过程。先将钢管从钢管厂运到管道和路道交叉口,再从交叉口铺设到管道线上。这样,总的运输费用就化为两个过程的运输费用之和。由于本模型的目标函数是非线性的,这里采用遗传算法对其求解。所得问题(1)的最小费用为127.966
5、1亿元。问题(2)的结果为的钢管销售价格的变化对购运计划及总费用影响最大,而的钢管产量的上限变化对购运计划及费用影响最大。把5171公里长的主管道线路按每公里划分一段,分为5171个点,每个点对应一个单位的钢管。从钢管厂运送5171个单位的钢管到5171个点,每个钢厂的容量有上、下限,由此可以将该问题转化为图论中的一个双容量最小费用循环流模型。文中设计了一个近似有效的算法,对该模型进行求解,所得问题(1)的最小费用为128.025亿元;问题(2)的结果与模型一得结果相同,问题(3)的费用为130.9840305亿元。文中对两个模型都作了一定的理论分析,具有较广泛的适应性。由于模型二将连续的管道
6、线简化分成了5171个点,求解所得到的结果稍劣于模型一得结果,但模型二具有较高的理论价值。对于实际中,将一些实际问题抽象简化为数学问题来解决,从方法上具有一定的启发性。最后,对该问题进行了深刻探讨,不仅解决了管道线为树形图的情况,还解决了管道线为一个网络的情况,同时将此问题推广到了一个更一般的网络图问题。对于n=1,n=2的情形已完全解决,对于问题提出了它是一个NP完全问题的猜想。关键词:运输问题 非线性规划 双容量最小费用循环流 效益问题1问题的重述要铺设一条的输送天然气的主管道,入附图6-1所示。经筛选后可以生产这种主管道的钢管厂有。图中粗线表示铁路,单线条表示公路,双细线表示要铺设的管道
7、(假设沿管道或者原来有公路,或者建有施工公路),圆圈表示火车站(图中的T(),每段铁路、公路和管道旁的数字表示里程(单位km)。1km主管道成为1单位钢管。如果一个钢管厂承担制造这种钢管任务,至少需要生产500个单位。钢管厂S在指定期限内能生产该钢管的最大数量为s个单位,钢管出厂销售1个单位的钢管为p万元,具体数据如表6-1所示。1个单位钢管的铁路运价如表6-2所示,1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。表6-1 钢管厂的销售单价i1234567s80080010002000200020003000p16015515516015515016表6-2 钢管的铁路运输单价里程/km3
8、00301350351400401450451500运价/万元2023262932里程/km5016006017007018008019009011000运价/万元3744505560公路运输费用为1单位0.1万元/km(不足整公里部分按整公里计算)。钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运送到,而是管道全线)。需要解决的问题是:(1) 制定一个主管道的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用)。(2) 就问题(1)的模型进行分析,哪个钢管厂的钢管销售价格变化对购运计划和总费用影响最大,并给出相应的数字结果。(3) 如果要铺设的管道不是一条线,而是一个树形图,铁路、公路和管道构成网络,对这种更
9、为一般的情形给出一种解决办法,并对于附图6-2按问题(1)的要求给出模型结果。2.模型的假设 (1)在制定订购钢管计划时,数据加精确到0.001个单位,即精确到米。此假设保证在理论上得到精确的结果。(2)在运输和铺设的过程中钢管数量无损耗。不需要考虑钢管运输过程中除运费外的其他费用。3.符号及文字说明A表示住管道树型图的第j()个顶点;S表示第个钢铁厂;c表示从S运送一个单位的钢管到A得最小费用;T表示铁路树形图除S外的顶点(具体标号见附图6-1);U表示钢厂S()生产这种钢管的数量;t表示第第k()段管道的长度;v表示铁路、公路和管道构成网络的所有节点;V表示所有v的集合;(y)表示y的小数
10、部分;y表示不超过y的整数部分;“最小费用路”表示从S (i=1,2,)运输1个单位钢管道A()运输费用最小的路。4.问题的分析无论采用哪一条运输路线,最终铺设到主管线上的每单位钢管均要经过与它所在位置相邻的一个主管道顶点(即运输路线上经过的最后一个主管道顶点)。因此,可将管道的铺设分成两个过程,即可形象地认为先将钢管堆积到主管道顶点A处,再将堆积在A处的钢管沿与其邻接的主管道线进行铺设。4.1 对公路和铁路运输费用函数的分析定义6.1 运输费用Y为线路长度d的函数,对任意三点A,B,C,设d为A,B之间的线路长度,d为点B,C之间的线路长度。若Y(d)+Y(d)=Y(d + d),则称该费用
11、函数具有可加性。否则,即存在d和d,使得Y(d)+Y(d)Y(d + d),则称该费用函数具有不可加性。由此定义可得如下的三个结论:结论1 公路运输费用函数Y(d)为线性函数,具有可加性;铁路运输费用函数Y(d)为分段函数,具有不可加性。结论2 铁路与公路组成交通网的费用函数具有不可加性。如图6-1所示是由公路与铁路组成一段运输线路(细线表示公路,粗线表示铁路),则 Y(AB)=1000.1+20=30, Y(BC)=20+500.1=25,Y(BC)=1000.1+23+500.1=38。显然有Y(AB)+Y(BC)Y(AC)。 图6-1 公路与铁路运输线路示意图结论3 在公路与铁路交通网中
12、,两点间距离最短不一定运输费用最少。一个单位的钢管从S运到A总是存在一条运输费用最小的路,但是由结论3,不能直接应用求两点间最短的算法求S运到A最小费用路径。4.2 对公路运输费用需安公里取整计算的分析 题目要求公路运输费用不足整公里部分按整公里计算。附图6-1中各段公路均为整数,因此,运输钢管到顶点A的过程中存在不足整公里的问题。而将钢管从A沿主管道线路铺设,铺设的长度等于钢管的总长度,可能会出现非整公里的情况,因此,需要从A铺设过程中出现不足整公里的问题,设从顶点A向右沿主管道线铺设y单位(km)钢管。情形一 当y为整数时,铺设费用为y10.1+(y1)10.1+110.1=。情形二 当y
13、为非整数时,铺设费用为y10.1+(y1)10.1+110.1=+在实际计算中,对y为非整数的情况不容易处理,但注意到=,0y1.当y=0.5时,最大为0.0125,其数值非常小,同样课分析从顶点A向左沿主管道铺设=ty所花铺设费用。其总误差为+=0.3375(万元).而铺设管道费用是一笔相当大的资金,相比之下此误差也微不足道,所以为简化计算,在后面做具体计算时不考虑小数部分影响,即无论y是否为整数,都将铺设费用为。4.3 对钢厂是否承担制造这种钢管的分析 由题意,如果一个钢厂承担制造这种钢管,则该厂至少需要生产500个单位。考虑一个特列,假如该厂S到各顶点A的最少费用均比该厂S的费用低,若该
14、钢厂承担制造这种钢管任务,且在S生产上限允许的条件下,这500个单位的钢管完全由S生产,总费用将会降低,否则该厂S不承担制造这种钢管的任务,总费用将会减少,因此,为使总费用最少,要充分考虑应由哪些钢厂承担制造这种钢管的任务,哪些钢厂不承担制造任务,根据题意的要求,建立如下两个模型:模型一:单目标非线性规划模型;模型二:双容量最小费用循环流模型。5模型的建立5.1 模型一:单目标非线性规划模型因为钢厂数目较少,不妨设7个钢厂都承担制造这种钢管任务,在这种情况下,分析所得结果,再决定哪些钢厂不应承担制造这种钢管的任务。用变量x表示由钢厂S运往A点的钢管数量。变量y(j2)为从A沿主管道线向右铺设的
15、钢管数量。针对问题(1),根据问题的条件和要求,我们可以的得到:钢厂生产这种钢管数量上下限的约束为, 对于()的约束为 , 由于堆积在A处的钢管必须全部铺设到与其邻接的主管道线上,于是对于节点A有 ;对于其他节点A()有 ,对于节点A有 问题的总费用Q由三部分费用组成,即包括购买钢管的费用M,从钢厂到主管道线上各节点处的运输费用Y和从各节点向与其邻接的主管道线铺设钢管的费用P,即Q=M+Y+P.事实上,这三部分费用分别为 , .综上所述,得到问题一的目标非线性规划模型 ;问题 (2) 是在此优化模型中对销售价格和产量上限作灵敏度分析。问题 (3) 的优化模型为 s.t.该模型对问题(3)主管道
16、为树形图的情形完全适用,只需增设变量(参附表6-2),其实树形图只是增加了一些叶和节点,对叶与A的约束分析问题(2)中叶A的分析,对节点A,A,A的约束分析同问题(1)中其他节点的分析。2 模型二:双容量最小费用循环流模图 5.2.1 理论准备 定义6.2 设D=(V,A)是一个有向图,l,c是定义在A上的两个非负实函数,并且对一切aA,有l(a)c(a),则称l(a)与c(a)为弧a的下容量与上容量,称D为双容量网络,记D=(V,A;l,c)。 定义6.3 设f为双容量网络D=(v,A;l,a)的弧集A上的一个实值函数,记f=,则称f为D上的一个循环流。如果对任意给定的vA,f满足 0,则称
17、f为f通过(v,v)的流量,对每个流量定义一个费用函数w,这时D称为双容量费用网络,记D=(V,A;l,c,w). 定义6.4 如果D上循环f还满足l(a),对任意,则称f是D的可行循环流。 5.2.2 模型的实现 将钢管运输到铺设地点本来是一个连续的过程,但可以将其离散化,即视为钢管是一个单位接一个单位地运送到铺点地点,每单位的钢管对应于它所要铺设的1km长的主管道。这样在附表图6-1中吧5171km长的主管道线按单位公里来划分,即可分成5171个点任意点到钢厂均有一条最小费用路相连,而一个单位的钢管从出厂的价格为万元,所以,一个单位的钢管从运到任意点的最小费用为“最消费用+一个单位钢管的售
18、价”,记为。 由于题目要求知,要从钢厂订购钢管则至少需订购500个单位,且对最大订购量均有限制,由此,可得到了一个有向图,其顶点集为 V=,其弧集为 =A。定义在弧集A上的函数l,c为 弧集A上的费用函数w定义为则有函数l的定义可知,D=(v,A;l,c,w)为双容量费用网络,此网络的任一可行流f均可应用于问题(1)的一种方案,则问题(1)转化为在此双容量费用网络中求一个费用最小的可行循环流,即求双容量最小费用循环流问题。问题(2)的钢厂钢管销售价格变化对应于D=(V,A;l,c,w)中上容量函数c的变化,由此,通过分别改变费用函数w与上容量函数C来观察对购运计划和总费用的影响。对问题(3),
19、同问题(1)的分析方法一样,也可将其转化为双容量最小费用循环流问题,亦即不管铺设的管道是线,还是树形图,甚至管道本身就是一个网络,均可同样的转化为最小费用循环流问题,而无本质上的区别。6模型的求解6.1 对求解任意两点间的最小费用路对于附表图6-1和附表图6-2,一个最简单的方法就是用穷举法来实现,即便两点间的所有路,比较其费用,就可以求出最小费用,从而可以求出其最小费用路,但是一个指数时间算法,为寻找公路与铁路网中任意两点之间最小费用路问题,设计提出了一个可行的启发算式递推法,在这里先给出两个概念。定义6.5 一条路中从公路转到铁路或由铁路转到公路的点称为这条路上的转折点。定义6,6 从一点
20、到另一条路中,最后一个中间点称为这条路的前继节点。6.1.1 算法思想首先分别求出任何两点间只经过公路和只经过铁路的最短路径,进而求出任何两点间只经过铁路和只经过公路的最小费用,其次,以此为基础,求出任一两点之间先经过铁路,且只有一个转折点(先铁路后公路)的最小费用路,以及所需费用值,然后,在已知不超过个转折点的最小费用路相比较,即求出任意两点之间的最小费用路,以及最小费用值。6.1.2 算法的基本步骤步骤1 将铁路和公路网看成一个图G=(V,E),,并针对铁路和公路分别定义矩阵A=(a)和B=()为步骤2 利用Floyd算法求出任意两点之间只经过铁路的最短距离矩阵A及前继节点矩阵,同理,求出
21、任意两点之间只经过公路的最短距离矩阵B及前继节点矩阵。步骤3 由矩阵A求出任意两点之间只经过铁路的最小费用矩阵A及前继节点矩阵,同理,求出任意两点之间只经过铁路的最小费用矩阵B及前继节点矩阵。步骤4 对于任意的V,v,记,并记为最小值得t,构成矩阵A和,即为从点v先经过公路再经过铁路到v的最小费用矩阵和前继节点矩阵。记,并记B和从点v先经过公路再经过铁路到v的最小费用矩阵和前继节点矩阵。步骤5 步骤5 以知A和B,对任意的v,vV,记 a=并记a为最小值时的t,从而构成矩阵A和,即点v先以铁路开始经k+1个转折点后到达点v的最小费用矩阵和前继节点矩阵。 注意到,当k为偶数时,第k条边仍为铁路,
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