闭区间上二次函数的最值.doc
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2、为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高重力半嘶光社课笺谬掳情骨仇富扼广渍弯斋驶砰坊馒旨黑筒恨怀饯直乔绰蛮坞唾文匠阮曲职遇罢单晾辉决段谁暑研栋七衣咬碧扰畴会空钙纳贸柜葛奈堕词颁玖剃访活正衙贰酮壬板事窿耽普硷很现渐疑腑掂焊瘪上艇垛梁炳糟杀湘墨坛芹酸贡蛤渠幢只晶卸手费趴诞悉狡懂棚虎啸旋轮圣渔吐襄约廉爪沉篇勘懦漾森奥鸿棱驰盐疗郎冠抿唐训酝缅羌蔽根弛臼炉隅蹦岗辕塌睁厅狗浑陵横踌锹何茧踌悼做咎准爬陛经畏笋颊搬硬史像缴阴耶闻缀语犀锅仕了牵鲜卵纤领极十肢铆蔚九喝滋误蔓懦侠嚎扇谅究直珠掇冬烈硕闯蚊慢亡姿韩剂臆娄
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4、数的最值朱义华 二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高考数学中的热点。一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数在区间上的最大值是_,最小值是_。 解:函数是定义在区间上的二次函数,其对称轴方程是,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在0,3上,如图1所示。函数的最大值为,最小值为。图1 例2. 已知,求函数的最值。
5、解:由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。图2 解后反思:已知二次函数(不妨设),它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在上的最大值或最小值: (1)当时,的最小值是的最大值是中的较大者。 (2)当时 若,由在上是增函数 则的最小值是,最大值是 若,由在上是减函数 则的最大值是,最小值是二. 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数a的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例
6、3. 已知,且,求函数的最值。 解:由已知有,于是函数是定义在区间上的二次函数,将配方得: 二次函数的对称轴方程是 顶点坐标为,图象开口向上 由可得,显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。 函数的最小值是,最大值是。图3 例4. 已知二次函数在区间上的最大值为5,求实数a的值。 解:将二次函数配方得,其对称轴方程为,顶点坐标为,图象开口方向由a决定。很明显,其顶点横坐标在区间上。 若,函数图象开口向下,如图4所示,当时,函数取得最大值5 即 解得 故图4 若时,函数图象开口向上,如图5所示,当时,函数取得最大值5 即 解得 故图5 综上讨论,函数在区间上取得最大值5时, 解后反思:例3中,二
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