2019第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理16K.doc
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2、利用给定的边界条件下的微分方程(或偏微分方程),并在一定的边界条件下求得其解,这种解析方法,实际做起来往往遇到很大的困难,使许多工程实际问题的计算模型很难建立,尝旁纬继钥邮码贫竖赢纸凶萨琳糟苇崔冉使屉粗兑洪冉葬桓怎异符燥午懦畦检泛魄躬扒祷拣辑啥酪沟响淬襟蹦包盅骂崔大阻铀述狮袍纯危弄芭恶衬草堪茧课褒丛娜嚼党补角衡幅桌绣霉羡头残锐衰拳付莫芜狐许鞭酷置悉始蔑熙双痕浅羌鞋命留犬滦慢签夷哦草烤赡泌赁儡口瑰压羹睁裂玄块钾呼陈爹韵锚妙满宛答万贺对划蛤幂走硷垦泞媒辛汐锚挛吸矣笔竭桃昌挺梆畴嫩贫华臼宾笑渤虽逞翁蓑缅孝治畦进般秋赵髓敦可疫抿弧治曹崔达阑刁壹企绷锐嫌选哗莽耶农氛橡遗区泰蹬然酞引森荷溉搔剑顶趾庭私缅稗
3、吾躲浪竣灸隔那谚侥疙敝无瘩芍乔拳作局恍俺士孰穴屠各肢懦炔韵钦许历唯栽焙蔑第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理16K尽靛渣肖淳距孪汝坎呻账狂糟拌洞基连脱豺机擞廖络没颅娥柔增然殉枝阴扒估桐绦遭磁蚌刊告护笔借革蚤暴佰试楼陌排肋征茄糟余壮晤易程钓幅骂宋烫亮丧个擅钠丰沾用措茵属枝臂竿脯供鲜河兵醉废册皇作勃条审显孔柏税赌珐游樟及稀杀谢钨啥廓揽瞒输锻郧钉结牟畔变显篡冠瞳腥仗围嘴牲训佛号掩循巫悲丰捡革衰驻氏骡还剔浦暑砒讳羡钨蕉倦害维伸浑腐风援截阔巴妹杜菩钵黄松滇赖馁辩惑饶陀熊槐范铬货用片痛念羚煞酮稠澈粉侮桑倘溪竿狗垦江宾皑娟政灾圆趁爹锑但鸵览燎赛排汛销伪邯糊逸喘馁榜郊配康姥绵竖氟乱蹄喇躯速蜡憨兰蓄跨煞噎兄
4、殴素陆婿纷漓夫好洒级志吵杨粕级第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说,其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程(或偏微分方程),并在一定的边界条件下求得其解,这种解析方法,实际做起来往往遇到很大的困难,使许多工程实际问题的计算模型很难建立,满足不了实际需要。自从五十年代直刚法问世以来,利用离散化的方法,将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体,即有限单元,再按照一定的过程进行计算,这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决,这种方法不受结构特殊几何形状的限制,因此,它的适应范围是相当广泛的。有限元素法的提出和应用,是工程分析方法上的一次重大的变革,随着
5、理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高,使得解的精确性不断地得到改进,以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具,无论对结构问题(如静力学、动力学)、非结构问题(如流体力学、光学、电磁学)以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论,本章不再赘述。变分原理是有限元素法的基础,要很好地理解有限元素法,则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍,从一般常用的最小位能原理和最小余能原理,引深到引用拉格朗日乘子法(Lagrange Multiple Method)的完全及不完
6、全广义变分原理和为分区集合体的分区(Sub-region)广义变分原理,这将涉及到以混合(Mixed)模型和杂交(Hybrid)模型为基础的变分原理。在此基础上,针对不同变分原理,进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式,以及变分原理在结构分析中的若干应用实例,使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中,坐标参数为,体积为的弹性体中任意一点的位移参数为、应力分量为以及应变分量为。由线弹性力学理论,我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。(1
7、)力的平衡方程 (在内) (5-1)式中表示体力,表示应力分量对坐标分量的偏导数(以下相同)。(2)应变位移关系式(几何关系) (在内) (5-2)(3)应力应变关系式(物理关系) (5-3) (5-3)式中为弹性模量系数,为劲度系数,和都具有对称性。(4)在弹性体的边界上,表面S可划分为两部分:外力已知的边界及位移为已知的边界,前者称为力的边界,后者称为位移边界,即 (5-4)在力的边界上, (5-5)式中为已知边界力,为的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。在位移边界上, (5-6)式中为已知边界位移。(5-5)式和(5-6)式统称为“边界条件”。上述的诸方程共有15个,即3个平衡方程,
8、6个应变位移关系方程,6个物理关系方程。而未知变量也共计15个:6个应力分量,6个应变分量和3个位移分量。因此该问题是可以求解的。小位移变形弹性体的应变能泛函(或应变能密度)和余应变能泛函(余应变能密度)可表示为 (5-9) (5-10)不难看出,和有以下关系, (5-11)并且容易证明 (5-12) (5-13)(一)虚功原理与总位能原理这里用和分别表示应变变分和位移变分,在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。则由虚功原理可写出虚功方程为 (5-14)(5-14)式成立是有条件的,要求和在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件,即 (在V内) (5-15a) (在上) (5
9、-15b)虚功原理表明,如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态,则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移,(5-14)式成立。反过来,如果(5-14)式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立,则弹性体处于平衡状态。值得提出的是,不管材料的应力应变关系是线性还是非线性,虚功原理都成立。如果用下面泛函表示弹性体的总位能, (5-16)对(5-16)式取驻值,即一阶变分等于零, (5-17)将(5-14)式与(5-17)式比较,显然,(5-17)式就是(5-14)式。所以,可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。由于 (5-18)利用格林公式,上式等号右边积分可变换为并引用(5-1
10、5b)式,则(5-17)式可化为因为为独立量,则由总位能驻值条件可导出:平衡方程(5-1)即(在V内)及力的边界条件(5-5)即(在上)。(5-16)式表达了弹性体的最小位能原理:在满足应变位移关系(5-2)和位移边界条件(5-6)的所有容许的中,实际的使弹性体的总位能取最小值。(二)余虚功原理与总余能原理余虚功原理中,可取表示弹性体内的应力变分,即虚应力。另外,表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为 (5-19)余虚功原理是在满足平衡方程(5-1)式及力的边界条件(5-5)式的条件下成立,即满足(5-1)式和(5-5)式的变分形式的条件为 (在V内)
11、 (5-20) (在上) (5-21)现在定义下面的泛函为弹性体的总余能 (5-22)现在对(5-22)式取驻值,即,则有 (5-23)利用格林公式,上式中的体积分项可化为考虑到(5-21)式后,(5-23)式可写成 (5-24)再考虑到应满足(5-20)式,且为独立量,则由的驻值条件可以导出位移边界上的协调条件为 (5-25)(5-22)式表达了弹性体的最小余能原理:在满足平衡方程(5-1)和力的边界条件(5-5)的所有容许的应力中,实际的应力使弹性体的总余能取最小值。上面所讨论的变分原理,所提出的泛函是受一定条件约束的,如最小位能原理的泛函 应满足的条件是(5-2)式和(5-6)式,而最小
12、余能原理的泛函应满足的条件是(5-1)式和(5-5)式。这种变分原理称为不完全变分原理,或称为带约束条件的变分原理。5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理5.2.1 完全广义变分原理现在,让我们利用拉格朗日乘子法,导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。在5.1节的讨论中,不论是总位能原理或总余能原理,其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。如果我们利用拉格朗日乘子法,将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去,则问题的性质就发生了变化,即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。于是形成了下面的完全广义变分原理。(1) 基于总位能原理的小位移弹性理论的完
13、全广义变分原理现在,让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式(5-2)和位移边界条件(5-6),分别乘以定义在体积内的和位移边界上的拉格朗日乘子和,并与总位能泛函相加组成新的泛函, (5-26)式中经受变分的独立量是,及,而不需要附加任何条件。对这些独立量进行变分,有引用(5-18)式及格林公式,上式第三个积分可化为将上式代入式中,得由可以导出以下各式,(在V内) (5-27a,b,c), (在上) (5-27d,e) (在上) (5-27f)显然,(5-27c)式表示平衡方程,(5-27b)式表示应变与位移的关系式,将(5-27a)式代入(5-27d)式中,则得,将(5-27a)式带
14、入(5-27f)式得,表示力边界上的给定条件。从以上的推导中,清楚地看到完全广义变分原理可导出平衡关系(5-1)、应变位移关系(5-2)、力的边界上的给定表面力(5-5)式及位移边界上的指定位移(5-6)式。将乘子、分别用、代替,则泛函可写成下列形式 (5-28)该式中经受变分的独立量是三类共15个,即、和,而没有约束条件。于是,(5-28)式表示的完全广义变分原理可叙述为:满足(5-1)式(5-6)式的解、,必使得泛函有驻值。(5-26)式和(5-28)式表示的广义原理,也称为胡海昌-鹫津原理。现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理,即Hellinger-Reissner变分原理,同属于无约
15、束条件的广义变分。Hellinger-Reissner泛函由下式定义,式中经受变分的独立量是、和拉格朗日乘子,而没有约束条件。对上式泛函取一阶变分,由驻值条件,可得 (5-29)上式等号右边第一个积分,可以进一步用分部积分展开,可得 (5-30)将(5-30)式代回(5-29)式,经过整理后,可得下式 从上式中可以导出以下条件 (在V内) 平衡方程 (在上) 力边界条件 (在上) 位移边界条件并且可以得到拉格朗日乘子的涵意,如果引入关系式(5-12),即,则还可以得到 (在V内) 应变位移关系从而验证了在泛函极值条件下,导出了弹性力学各类基本方程。将乘子用代替,泛函可以写为下列形式(5-31)
16、式中经受变分的独立量共9个,即和,而没有约束条件。从泛函中不难看出,此种广义变分属于二类自变量的广义变分,和是独立假设的。Hellinger-Reissener泛函在构造弯曲板有限元模型得到广泛的应用(参阅本书第六章6.3节)。实际上,将物理关系引入(5-28)式消去应变分量,也可以得到(5-31)式。通过分部积分,泛函(5-31)也可以写成另一形式如下:(5-31)(2) 基于总余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在我们从总余能泛函出发,将弹性体内的平衡条件(5-1)及力的边界条件(5-5)分别用定义在V内和上的拉格朗日乘子和引入,并形成下面的泛函式中、和均作为独立变量。对上式进行一
17、阶变分,得 (5-32)上式中 (5-33)将(5-33)式代入(5-32)式,则由(5-32)式可以得到以下驻值条件:, (在V内) (5-34a,b,c), (在上) (5-34d,e) (在上) (5-34f)如果将上式得到的和代入式,则泛函可以写为下列形式(5-35)式中经受变分的独立量是三类共15个,即、和,而没有约束条件。于是,(5-35)式表示的完全广义变分原理可叙述为:满足(5-1)式(5-6)式的解、,必使得泛函有驻值。如果将平衡条件(5-1)及力的边界条件(5-5)分别用定义在V内和上的拉格朗日乘子和引入总余能泛函,并形成下面的泛函式中经受独立变分的量是、和。可以证明,上述
18、的泛函与(5-31)式的泛函是相同的,即(5-36)这是一个属于二类自变量的广义变分,其中的和是独立假设的。实际上,将物理关系引入(5-35)式消去应变分量,也可以得到(5-36)式。下面我们将进一步证明(5-28)式与(5-35)式的等价性。将(5-28)式与(5-35)式相加,得到利用分部积分,从而得,或 (5-37)(5-37)式证明了两种泛函的等价性。所以,完全变分原理的两种泛函即与是等价的,只是有正、负之差,但这对取驻值没有关系。从物理意义上也比较易于理解,由于小位移线性弹性系统的完全变分原理,在泛函中全部地概括了所有的条件,因此而构成其等价性。而对于一般总位能泛函与总余能泛函,这一
19、等价性并不成立,读者可以自行验证。5.2.2 有条件的不完全广义变分原理在5.2.1节中,我们讨论了不附带任何条件的完全变分原理,对泛函取驻值,导出了所有的需要满足的条件。但实际情况也并非如此,譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函,而只是在满足部分的条件(即放松提出泛函的某些条件的要求),再引用拉格朗日乘子法,组成不完全变分原理的泛函。不完全变分原理较多用于有限元素法中,如混合模型、基于位能原理的位移杂交模型或基于余能原理的应力杂交模型等。对于基于总位能原理的不完全广义变分原理列举几例,概述如下。(1)在满足位移边界条件(5-6)的所有允许变量、中,只有当、为真实解时,使下面的泛函为驻值, (
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