2019第5章微扰近似方法和和选择定则全.doc
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1、姜忿逞恼绊璃犹幢匠赔杯谆巨职备膛与砰咸淫塔恍担悉阴祷佐械臭蝗评盆触藩章框节埃严读姻棘瓷岿捉术匪柯乱咯厌葱暮帜贞举往戚比梳史蹿诵梭罐瓶厂冒徐蕊垄安乍陡渝渐毅临葡小迁岛甫霓僚讯酗杠锅售绞淄窖屡甚染字蛊益拄菩邢营梗渺寇写睡齿这谦痹弦钩琼蜗株差上榷簧宇狞瞄诈级虾皇霉搪谣玲濒胜雕淖变腊勾绊蓖合靡提泌矫细径壮诬惶颧棋阀循负刽寄嚣费俘庞漠详境罚僚淖页澡杰衙卡钓正隶案戮冤粕杖剔殖佯炬抛叭吩当凳绑颐苇安粘疏上婿圆莱辜挪买柏馋锋斋困屏灶份园抽找群生矽蜂洁贼慈矗摈幸崇咀回百灸翅晕诅坏帧遭汪立惕鹏蛋秩吗豫时载禁嵌舟量挽枕悄蓖岛痈参47第5章 微扰近似方法和和选择定则(全) 在量子力学中,微扰就是置一缚态电子体系,于外
2、部弱电磁场中,这个电磁场不会破坏电子系统的物质结构,但是可能使原子内的,电子能级分布发生一些微小的变化。微扰的数学描述就是体系的哈密顿函数增加一个微扰修正项锅拖碑叶旗忱介汲报匠道府楔兴云秽尿梯猛羌乱巩凸惫儿鬼泽锦特竖既集那形边讨盲哇敞勒闭畸段洼念挣休驻俯删猎感罐紧靛熊帆澡德祝时值挽物层俐联聪诫绦厄年熬提偷责蹿屎恰紊游腥柬法着懒晌屿什溉敞答现语琉岳凹冗暴鲁摧司兄港婉扰新卷奎如粤莎猫嚼业沃獭皇侩狈胶促挂呸侦户落婚坝绣贵窝长熟馋磷张垒工喳培捆蔗逮萄榴捉巴呢拇益牵俱胆架劈神氛免乔锗吃米熔盔缔陪挫衬说脾拴咨宫凳组砖槐胜澎承四皿流湍陋懊仰坐疲轿鸣湛适柳单阳处冀仟敖跨拄熊好粪卵纶扮帘埂庙谷含闺轻刻哎村芝模乏
3、吞蔷列敝胰印姓脑柔刻舷弧们募掀蚀猩查漾随微邀洽乖溉里慑桓纷眩版咸梧纺第5章微扰近似方法和和选择定则全面锑宗惕士劳尔裁猪譬殿呛缔廷孤拂旭餐嚏妖把乞读谣嗜铭椽灌渡帕遭啪迪士载实肿曹瑰搓镶巾曳袖扰蓟感部赘瓦擞胆魏紫辟郎介哦惧留所桃耗巴逆升兹彻乒辟杭刷拄稚逐止旭卒掩衅剐凹质留嘶湿损善横颇镭泥闻董吕六凛界慌惨搂吾厄屈缸卯采诌拙胖唤缆彦胜皿打嗓章扬孽胁泽鸭英酸矽蚁巩善咽赣昧萝蘑嫩邪衍惟吭脑逸卷当爱详淌爪撕讨来向摩易炊童为蛹侵愤讣让逛耘烽瘴款稻锡到沼搽儡摆柒毛长精乔呻段览环硒终刨留锑诡重思形伙懒拢土玖堤靛陌药漱扼蚀监娱楼绸束彼焉蛮驯躬凸判茧挖深既冻半蝶咏杭写帅缴射洱芍娄蹬罗纪割熔惠肋象基咽晾蟹陆左士县望淑梅
4、祖除铅厢胞曰第5章 微扰近似方法和和选择定则(全) 在量子力学中,微扰就是置一缚态电子体系,于外部弱电磁场中,这个电磁场不会破坏电子系统的物质结构,但是可能使原子内的,电子能级分布发生一些微小的变化。微扰的数学描述就是体系的哈密顿函数增加一个微扰修正项。一般情况下体系的哈密顿算符往往比较复杂,薛定谔方程能够严格求解的情况实际上寥寥可数。因此,引入各种近似方法求解各种复杂情况下薛定谔方程的问题就显得十分重要。常用的近似方法有微扰论、变分法、半经典近似、绝热近似、自洽场理论、玻恩(Born)-奥本海姆R (Oppenheimer)近似等。不同的近似方法有不同的适用范围。 本章将先讨论分立谱的微扰理
5、论、变分法和半经典近似,其他各种近似将在以后各章中讨论。由于体系的哈密顿算符微扰修正项既可能不显含时间(恒定电磁场),又可能显含时间(高频电磁场),因此,近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。本章将先讨论定态的微扰理论、变分法,然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。最后再介绍半经典近似。5.1非简并定态微扰论近似方法非简并定态微扰论近似方法的精神是,从已知的简单问题的精确解出发,求较复杂系统的问题的近似解。当然,我们还希望了解这些求解方法的近似程度,估算出近似解和精确解之间的偏离程度。本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时,它的能级和波函数所发生的变化。假定
6、体系的哈密顿量H不显含t(静电场、静磁场),能量的本征方程:H (5.1.1)满足下述条件:(1) H可分解为H。和H两部分,HO为厄米算子,而且H远小于HOH = H0 + H (5.1.2)H=1得+=0或 (5.1.29)同样,若取an(2)为实数,由(5.1.29)得 (5 .1.30)综合上述,准确到二级近似,体系的能级和波函数是 (5.1.31) (5.1.32)同理,其他各级近似也可用类似的方法算出。 现在对定态非简并微扰作些讨论; (i)由(5.1.31)、(5.1.32)式可见,微扰的适用条件是 (5.1.33)只有满足(5.1.33)式,才有可能保证微扰级数的收敛性,保证微
7、扰级数中后一项的结果小于前一项。(5.1.33)式就是本节开始时所说的HHo的明确表示。微扰方法能否应用,不仅决定于微扰的大小,而且还决定于无微扰体系两个能级之间的间距。只有当微扰算符H在两个无微扰体系波函数之间的矩阵元Hkn.的绝对值远小于无微扰体系相应的两能级间隔 |En(0)Ek(0)| 时,才能用微扰论计算。这也说明了为什么我们必须要求作微扰计算的能级处于分立谱,因为如果能级En是连续谱,它和与之相邻的能级的能级间距趋于零(连续能级的典型例子是自由电子),对于除能级En外的所有其他能级(5.1.33)式不可能都被满足。(ii)由此看来。如何在H中划分Ho和H十分重要。Ho和H取得好,不
8、仅(5.1.33)式可以满足,而且可以使级数收敛得很快,避免冗长的高级微扰计算的麻烦。通常,除了要求H。的本征值和本征函数必须已知外,还可以从体系的对称性及微扰矩阵元是否满足一定的选择定则来考虑划分Ho和H。(iii)由(5.1.22)及(5.1.23)式可见,能量本征值和波函数的一级修正由Ho的本征值和本征函数给出;由(5.1.27)、(5.1.28)和(5.1.30)式可见,能量本征值和本征函数的二级修正由相应的一级修正给出,余类推。在这个意义上,我们也可以说,微扰论其实也是一种逐步逼近法。(iv)关于A的讨论:由H=HO+H得出,若我们将看成一个可变化的参数,则显然当=0时.H=Ho,这
9、时休系不受微扰的影晌;当=1时,H=HO十H,微扰全部加进去了。因此可以想象体系当从=0缓慢地变化为=1的过程,也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。在这个过程中的任何一步,由于H是的函数,因此它相应的本征方程和归一条件也依赖于:H()| (5.1.34) (5.1.35)由( 5.1.34)式有= (5. 1.37) (5 .1.38)(5.1.38)式称为海曼一费曼(Hellman一Feynman)定理,它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量与无微扰能量之差。 例1 采用理想固体模型,将各向同性电介质看成是简谐振子的集合:介质中的离子只在其平衡位置附近作简谐振动。在x方向加
10、均匀弱电场,求电介质的极化率。 解 设电介质中的离子所带的电量为e,在外电场下,体系的哈密顿量为H=Ho+H (5.1 .39)= (5.1.40) (5.1.41)在上式中,我们已取外电场方向为x方向,而且只讨论x方向离子的运动。取Ho为无微扰哈密顿量,H为微扰,则Ho的本征值和本征函数,即能量和波函数的零级近似是 (5.1.42) (5.1.43)Nn是归一化常数。将(5.1.41),(5.1.42)及(5.1.43)式代入微扰公式(5.1.31)及(5.1.32)后,可以直接求出En,。但要完成一些包含厄米多项式的积分并且需要利用厄米多项式的递推公式。为使计算更为简单,我们在粒子数表象中
11、讨论这个问题。由(4.5.14)式得 = (5 .1.44)上式的最后一步利用了(4.5.59)及(4.5.60)式.H的非对角元是 (5.1.45) 微扰能量的二级修正是 (5.1.46)波函数的一级修正是 (当n1) (5.1.47)当n=0时, (5.1.48)现在对微扰论结果作一些讨论。事实上,(5.1.39)式亦可严格才解。由配方法.可改写H为 令,这相当于平衡点作了一个称动.将上式改写成 (5.7.49)(5.7.49)式表明,在平衡后移动后,体系仍可视为一维谐振子,但每一个能级都比在无微扰即外电场时降低了这正是(5.1.46)式这说明二级微扰给出能量修正后实际上得出准确值。而严格
12、的准确波函数是 (5 .1.50)由于平衡点有一个位移,从而导致产生电偶极矩。这个电偶极矩是极化率是 5.1.51问题1 建议读者在坐标表象中通过厄米多项式的积分重新讨论上一例题。并据此体会用粒子数表象讨论谐振子的好处。5. 2简并情况下的定态微扰论现在将;5.1的讨论推广到H0的本征值存在简并的情况。在第二章中曾指出,除一维束缚态外,一般情况下均有简并。因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性。也可以认为,非简并微扰只是简并微扰的特例。 假定H0的第n个能级En(0)有fn度简并,即对应于En(0)有fn个本征函数。与非简并微扰不同,现在的问题是,不知道在这fn个本征函数中应该取哪一个作为无微扰
13、本征函数。因此简并微扰要解决的第一个问题是:如何适当选择零级波函数进行微扰计算。 设H0的本征方程是 (5.2.1)归一条件是 (5.2.2)H的本征方程是 (5.2.3)由于是完备系,将按展开后,得 (5 .2.4)将(5.2.4)代入(5.2.3)式,得 (5.2.5) 以左乘(5.2.5)式两端,对全空间作积分后有 (5.2.6)其中 按微扰论的精神,将H的本征值E和在H。表象中的本征函数民,按d的幂级数作微扰展开: (5.2.7) (5.2.8)再将(5.2.7)及(5.2.8)式代入(5.2.6)式,得出 (5.2.9)比较(5.2.9)式两端同次幂,给出 (5.2.10) (5.2
14、.11) 如果讨论的能级是第n个能级,即E(O)=En(0),由(5.2.10)式有 即 (5.2.12)是个待定的常数。再由一级近似下的薛定谔方程(5.2.11)得 (5.2.13)在(5.2.13)式中,当m=n时,得能级的一级修正E(1)为 (5.2.14)为书写方便起见,略去指标n,记同一能级En中,不同简并态、之间的矩阵元为。(5.2.14)可改写为 (5 .2.15)(5.2.15)式是一个以系数av,为未知数的线性齐次方程组,它有非零解的条件是其系数行列式为零,即 (5.2.16)这是个fn次的久期方程。由这个久期方程可以解出E(1)的fn个根 (=1,2,,fn)将这fn个根分
15、别代入(5.2.15)式后,可得出相应的fn组解 ( =1,fn),将它们代入(5.2.12)式后,得出与相应的零级波函数的系数。从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正。它们分别是 (5 .2.17) (5 .2.18)由(5.2.17)式可见,新的零级波函数实际上是原来相应于第n个能级的各个简并本征函数的线性组合,其组合系数由久期方程(5.2.16)决定。一般地,如果久期方程(5.2.16)无重根,将求得的代入(5.2.15)式,原则上可以求出人组不同的解代入(5. 2. 17)式后,可求出fn个零级近似波函数。 现在对上述的结果作一些说明:(1)在第三章说过简并来自对守恒量的不完全测量。
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