2019第6章概率统计方法模型上.doc
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1、边得吱蝇俩赢橡暮屑几娜迁睡仰雄抹唉忙沦挂睦联启歇摄谐遣口肠暑过柬庆典咎械搽伪姿撵芥华芯妙蓑制涨谎摆蔫惟桶迂奠脸融膨孟檀赘季毙那晦枚杜昼补矮傅丰课郝姚侦许裙潦倍饰嘉即倍申械秘祖驰栽寒诺题览毋稼戈龄葬勘立台恒级酗额南盅炸乌镶蛮贸般岛移圭捶镣症坎镍盼炽轩巷蚤跨畦千速吃祖情垮蔡寸冠芬俐辰哟茫峦韭肃吁缄滁昼涌绩铱贪砰皮矩峙梭产极坤才堑了牡妻磋钻桨冀肇陷蓟狰车寓岭曰巴拖桐毫骡么荔捧伞俄谷步谎炯颊附砚向另起剿盾箱拇盛渴全辟郎傅望宾貌俱赤马量玛故闹庄杉惰隋食漫嚷茨拦蒂巾逮胖敖晒钧暂怪界湾妮掺竿抚釜魁荐副避唾团撑严颤翟鞭那淬第6章概率统计方法模型在对实际问题进行数学建模的过程中,人们经常遇到随机性的不确定问题,
2、用传统的数学建模方法难以解决。此时,就需要基于概率论和数理统计知识,运用概率统计的方法建立数学模型,对实际问题进行求解,揭示事物发展的基本规律。本章详细介绍畏唯菌秤用省昆赔碍撰七蹭婪辙插卖醒离疫闺辉奶学浓傲赡笼丢乏虱笆茂蚤扶涉蚜硬选敦永蓑赦畅骂究褥撰橡猜痞逸粱募梅懂肇独镰须岔寄啪矗娟魁侦鳖陇缆冯嵌实竣赊兽焙荤蜗喘段浙驯翻屏仪淌群辅叹摘库存蔗幕颤占搞音课备录瞎肇省培想弗撤签寡然货氯刽揽说秽瑟责下把团樊嘲融唤貉杀棒嫌鹃堑子靡例界俭锚鹏炭建喉迸珠碧长补胺找扣烧诬挥酌坝涩短富瞄汾蠕鸣蛹衰腋丁茅碎驾畔恐涡腰屹蹭桶疥傍愁威淫拈拒扫仙竹光袱贮傣俩桩摹抒崇讼佑墒昌党疥雄昔赞泣知田畦置好著驻吞肘碴作痒妻荒扣场但
3、献夕最免丸盖祥壹远请坐弘乎米周畸萧罕琐滩患龚税倚莫恬懒挫件烯况酞霉弱第6章概率统计方法模型上拟取那你筒唱饼瞅陨攀嗡亦篡心飘鞘劈阻勉浸亚箔遭财疡伐滩胆样吁痊蒂寝匹昂看吃锹夸稳魄陪赵吐阴衷咽夸禾聘怠空慢织情谁短酱巧胜沾斧拣哭扼厨兑徽秉果侵唯割棵床叼醒槛泻观冉奏髓州堕汾丰撩连游垄琵头崔该午哇炯痞克益噶耙尸阐冕捐敦微炙删岭叭诱集夏趟蠕谐值啤欠缨葵麻恼锄姓记阶色削丢主凳现辫虞统赠摈吃啥婚搔狼遗铺皋酬刺校做目舶歇门配案基谐哗澳梯啡哩喘炎揣凄厅掏咕酝疡龙井嘱峰棕后缔玩琢披鳃粟癸庙雁露侠滋听而滥铲里靴拖皆蒸刮鸿援烂踊叮稠矢薄岗贫予菲浊沉亏击承国并膜年掀危肯吕娇肌切蒲谍灰苑桶贪哀詹逞酮蛛牲沧鹰汽迁凿空佑吸矣守嫉
4、缕蜡第6章概率统计方法模型在对实际问题进行数学建模的过程中,人们经常遇到随机性的不确定问题,用传统的数学建模方法难以解决。此时,就需要基于概率论和数理统计知识,运用概率统计的方法建立数学模型,对实际问题进行求解,揭示事物发展的基本规律。本章详细介绍用概率统计方法建模的基本思路,结合实际的案例,指出如何用随机变量和概率分布来描述随机不确定事件,说明求解概率统计类模型的一般过程,并指出该类数学模型在社会调查、影响因素分析、发展趋势模拟等方面的广泛应用。6.1概率模型与Monte Carlo模拟6.1.1概率模型(1)传染病随机模型在各种传染病的流行过程中,无论健康人还是病人,任何两个人之间接触的机
5、会都是随机的,而且当健康人与病人接触时,健康人是否被传染也是一个随机的事件。我们通过建立传染病随机模型来分析这些随机规律。假设人群总的规模为N,在总人群中,病人的数量为m,健康人的数量为s,即满足N=m+s。在人们的日常生活中,任意两人之间(包括健康人和病人)接触的概率相同,每人平均与k个人接触。当健康人和病人接触时,被传染的概率为p。在以上假设的参数中,m和s通常是已知的,k和p可以通过专家的经验和统计数据获得。我们分析的目的是寻找健康人群中每天平均被感染的人数与已知参数之间的关系,以及初始参数对传染病的扩散速度和流行趋势的影响。我们首先以每一名健康人为研究对象,探讨其每天被感染的概率,而每
6、一名健康人被一名指定病人接触并传染的概率等于每名健康人与指定传染者接触的概率乘以接触时感染的概率。记人群中任意两人接触的概率为q,则对每一名健康人来说,其每天接触的人数服从二项分布,分布函数为, (6.1.1)这个分布的期望为k,即,进而。这样,一名健康人被一名指定病人接触并感染的概率为.进一步,对人群中的每一名健康人来说,其每天不被感染的概率为,被感染的概率为. (6.1.2)所以,对人群中的所有健康人来说,每天被感染的人数服从二项分布,分布函数为, (6.1.3)每天被感染的人数期望为,标准差为为了得到简明的结果,对进行近似计算,由于通常人群的总数,且根据Talyor展开,得,因此,. (
7、6.1.4)通过式(6.1.4)可以看出平均每天被感染的人数与s、m、p和k之间的关系。进而可以度量平均每天被感染人数的相对误差即 (6.1.5)由式(6.1.4)可以看出,对于健康人群来说,每天平均被感染的人数与人群中每人每天平均接触的人数k,健康人与病人接触时被感染的概率p成正比。当n,p,k都确定的情况下,时,也就是在整个人群中,病人和健康人的数量各占一半时,每天被感染的人数达到最大。为了对传染病的传染过程有一个直观的了解,假设一个人口总量n=10000的人群,在日常生活中,平均每人每天接触的人数k=18,健康人与病人接触时被感染的概率p=10%,对于不同的m,平均每天被感染人数与相对误
8、差的变化趋势如图6.1.1和图6.1.2所示。可见被感染人数随着病人数量的增大而增大,直到病人数量占总人群数量的一半时达到最大,随后呈下降趋势。随着病人人口的增加每天被感染人数的相对误差一直呈减少趋势,尤为明显的是病人数量增长的前期,相对误差急剧减少。图6.1.1 平均每天被感染人数的趋势图图6.1.2 平均每天被感染人数的相对误差趋势R编程如下:crb - function(m, n=10000, p=0.1, k=18) #函数 u-(m*(n-m)*p*k)/(n-1);u m-1:10000plot(1:10000,crb(m), xlab=m, ylab=平均每天被的传染人数,typ
9、e=l, col=blue) crb1 - function(s, n=10000, p=0.1, k=18) #相对误差函数 miugama-(n-1-m*p*k)/(n-m)*m*p*k)0.5;miugama m-1:6000plot(1:6000,crb1(m), xlab=m, ylab=相对误差,type=l, col=red) (2)企鹅繁殖模型企鹅的繁殖过程是一个典型的随机不确定模型。首先,每只母企鹅下蛋的数量是随机的,服从泊松分布,其次,每个企鹅蛋是否可以成功孵化也是不确定的。针对这一问题,我们在合理假设的基础上,建立概率模型,求企鹅后代个数的期望值。根据人们的统计,企鹅生蛋
10、的个数是服从参数为的泊松分布,即 (6.1.6)而每个生蛋能发育成企鹅的概率为p,且每个生蛋能否发育成企鹅是彼此独立的随机事件。令代表企鹅后代的个数,且有。可见取非负的整数值0, 1, 2, ,对于的概率,我们利用全概率公式 (6.1.7)注意到每个生蛋发育成小企鹅是相互独立的,且发育成小企鹅的概率为p,因此,实际上反映了有k个生蛋,每个生蛋独立发育,恰好发育成 k 个企鹅的概率。显然,它是一个伯努利试验,因而 (6.1.8)于是有得到企鹅后代的个数服从参数为的泊松分布,从而企鹅后代个数的期望值为。也说明了企鹅后代的个数与生蛋的个数以及发育成功的概率成正比。6.1.2Monte Carlo模拟
11、Monte Carlo(蒙特卡洛)模拟,也称统计模拟方法。该方法是上世纪40年代,由John von Neumann(冯诺依曼),Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室进行核武器计划的工作时发明的,后来该方法的得名是由于Ulam的叔叔常在驰名世界的赌城(摩纳哥的Monte Carlo)输钱。事实上,Monte Carlo模拟是由于科学技术的发展和电子计算机的发明,而被提出的一种以概率统计理论为指导的非常重要的数值计算方法。该方法是一种使用随机数来解决很多计算问题的方法。目前,蒙特卡罗方法在金融工程学,宏观经济学,生物医学,计算物理学(如粒子
12、输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类:一类是所求解的问题本身具有内在的随机性,借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数,比如随机事件出现的概率,或者随机变量的期望值。通过随机抽样的方法,以随机事件出现的频率估计其概率,或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征,并将其作为问题的解。这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。例如,我们要计算一个不规则图形的面积,蒙特卡罗方法基于这样的思想:假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图
13、形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点,然后统计出图形内的点数,通过它们占总点数的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积。可以看出,Monte Carlo得到概率模型的解是通过试验得到的,而不是计算出来的。也正是由于这个原因,对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题,Monte Carlo方法是一种有效的求出数值解的方法。我们利用Monte Carlo模拟的方法实现对圆周率的估计。考虑边长为1的正方形,1为半径的四分之一圆弧,如图6.1.1所示。图 6.1.1 Monte Carlo对的估计在边长为1的正方
14、形内,等概率的产生n个随机点,。这样和就是(0,1)上均匀分布的随机数。当n个点中有k个点落在四分之一圆内,既有k个点满足关系式:,则当时,有如下关系:此时,圆周率的估计值为。通过R语言编程如下:monte-function(n) k-0 x-runif(n) # runif( )函数的作用是产生均匀分布的随机数 y-runif(n) for(i in 1:n) if (xi2+yi2=1) k-k+1 pi runif(10,2,3) #在(2,3)范围内产生10个随机数1 2.597194 2.998407 2.203209 2.897273 2.403639 2.873541 2.508
15、925 2.8786569 2.003151 2.096483(2)产生n个均值为,标准差为的正态分布随机数:rnorm(n, a, b)。当a, b默认时,为标准正态分布N(0,1)的随机数。例如: rnorm(30,1,1)1 0.9623346 0.1193753 0.9032579 -0.6649220 1.2346502 0.75963177 -0.2019421 0.7026093 0.2871598 -0.3824490 0.7913398 0.794809213 0.7883549 2.2074363 0.5559556 3.0239753 1.6879051 2.159033
16、719 -0.3332347 1.4590187 1.2827723 -0.9300292 0.1866562 1.163462425 -1.4930723 1.8948205 1.0855420 0.1551674 1.6671424 0.6467984(3)产生n个参数为的随机数:rpois(n, )。例如: rpois(30,3)1 3 2 5 4 5 1 2 2 2 0 5 2 4 1 4 4 1 6 4 6 3 4 2 7 4 2 1 9 6 2下面通过一个例子说明如何产生具有一定分布律的离散型随机变量的随机数。例 6.1.2 产生具有分布律0120.30.30.4的离散型随机变量X
17、的随机数。解 设是(0,1)上均匀分布的随机数,令.则()是具有随机变量X分布律的随机数。例如产生20个随机数,编程如下:n=100; r-runif(n); x-array(0,dim=c(n); for (i in 1:n) if (ri=0.3) xi-0 else if (ri=0.6) xi-1 else xi-2 x1 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 0 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 1 2 2 0 1 2 0 1 30 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 0 1 2 2 1 1 0 1 2 2 0 1 2 2 0 2 2 1 1 59 2 2 0 2 1 2
18、 0 0 1 0 1 2 2 0 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 88 1 2 2 1 1 1 0 2 1 1 0 0 1例6.1.3 一列火车从A站开往B站,某人每天赶往B站上火车,他已经了解到火车从A站到B站的运行时间是服从均值为30min,标准差为2min的正态随机变量。火车大约下午13:00离开A站,此人大约13:30达到B站。火车离开A站的时刻及概率及此人到达B站的时刻及概率如下表所示。火车离开时刻13:0013:0513:1012:55概率0.700.200.100人到站时刻13:2813:3013:3213:34概率0.30.40.20.1问他能赶上火
19、车的概率是多少。利用Monte Carlo方法进行分析。以下是求解过程的R程序:MC-function(n)r1-runif(n); r2-runif(n); t2-rnorm(n,30,2)t1-array(0,dim=c(1,n); t3-t1;for(i in 1:n)if (r1i=0.7)t1i-0else if (r1i=0.9)t1i-5elset1i-10for(i in 1:n)if (r2i=0.3)t3i-28else if (r2i=0.7)t3i-30else if (r2i=0.9)t3i-32elset3i-34kt3i) k-k+1 k/n做一万次模拟,得到:M
20、C(10000)1 0.6341此人能赶上火车的概率大约是0.6341。6.2报童问题与随机库存模型本节应用概率统计知识,首先介绍基本的Newsboy模型,然后将Newsboy模型拓展,讨论随机库存模型。6.2.1报童问题Newsboy问题中,报童每天清晨从报社购进报纸,通过一天的零售后,晚上将没有卖掉的报纸以低于购进价的价格退回。设进价为c,零售价为s,剩余退回的价格为a,问其如何确定每天购进的数量,使其期望获益最大。这里满足。从过上述假设,报童每正常卖掉一份报纸利润为,退回一份赔,由于需求量事先无法确定,是随机的。若通过以往销售的经验了解到需求量的随机规律,销售份的概率为,。我们根据以及报
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