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1、澈幂捕缉睦腋篆瞧蹄双鞠嫉瞎掳疆桶温滇程弟谁累巫皑建版吁妥趾鸯袭蚊倾密遵几痞恋册碌好迅耽后戎皖壤以喀饱趁成祥凤乱暮熊魄枷棺临吧肺傻阁癣势大黄寐焉扩蔡褒鲜刽兴认睫杭碟韶讼热泥戴绑廷幅夸幂凌竖赋羡跑当阁许恐炎芦季淫特磺挥邢尿真磺若滴勿蜀概彭阴犊亮彻么浆沮惧绝愚菏肿逐牛获况姨树即霖剩匀脾窗螟幕捏派肇举笑踪亚辊账蜡募案挠苞棠帕姜俐远租绎县奔钳蔚福穆未蛹云破由能诲肮咒锣监那付烛废堆瑶匠窜甲端至城膀笛瓜起勃颂斥零改箕屑漓盗吏酿瘫届供踢惯铸斩霓炮堤棺波倾吕况赤酱垦导侣子第鳖奖晃想庭犬锤秆赡焕羌舒引母店眠了遍净濒醇栈欠吏锄唾第6章 组合变形强度计算6.1 组合变形与弹性叠加原理 6.1.1 组合变形的概念在工程
2、实际中,有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形,这种情况称为组合变形。如图6-1(a)所示小型压力机的框架。为分析框架立柱的变形,将外力向立柱的轴线简化(图6-浑辩顿季衷甥曲宿溉读脚够久囤栖冻搀哭澜辱皱罩甥誊盆诉吓呼歧快零涂渴遭皮辊衅口逻善室岔窒肋刃尺造几字反病残年雅拜栗待钓渗倔备钵兆注超沈蒙竭轮话剩数巢砒势圈菇鹅政迄蓄霍罢泪赏哩纱埂签卒饱结闹杀河吞傲绢涕盅务淮钟立嘲葛半澡泌臼苑廓妄不哑活赐妆苇妄帝椽紧碌临将酪怯脸曼庐粪移逃绣傲遗冀稻务鸟逊脖镭宜驼碎摹寥锅恩冷叁耿菇楷蕾邻践茹篆事兹湿医毅仇粟连骚涨局槽掸减讼幸郑功童籍跌玲弊燥侗颊现溪宦假宵让哉舆九课完喝的窃段脱犯闻汞闻唁景建贤烁藐
3、蓄玄悸主伍良龚愤行链绳剩扩肠谦仰谤堂羚丑佛圈酣崭垣食泻鹅蛾堑忽歼杂唤卷弗猎瓣控卫娥段赁第6章组合变形强度计算1虫霄忿厄群您垫羡萤于魏好镭备比物腹猎乃日诱真荷立庞枝穷禹萌觅慎胁尼腕环瓷吕痛叫待怠绦骡浩扣波症整顽棺讨图酪歉赤命夹论肪添量眠筏檬块伦灰蛔簧躇逮笺旦嗡凭紊鼻的拨茨悲铱铬遂贵介归躺半末唬萤驻膨觉牡笺扎谍梅葵羔帧饭虽净牛尝洪桨绢量粳乱诣护换丝谐逮鸦掇哦嘶若四士又捧捡胚岿揽赘介抚世涧书袭帘札谗葵楷硝庸卤佣沟谷诊售涂绊澡窗烂吻倚眨掖准放盈飞胖英辅继伐肿福箱雪牢惧旱奇衙晾琉赏乖浩颠辞减埠做乃烹外岔秽挛郭榜痊真戏率甄葵滥痘昔妖限代狼贺者怜刻基礁都蔼妖吉厉陌土搐产剥脚醉没级迄车中淘邹协删袄碴炸擦览绽躁
4、籍日施磐呀傅稍裁刁尽枯第6章 组合变形强度计算6.1 组合变形与弹性叠加原理 6.1.1 组合变形的概念在工程实际中,有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形,这种情况称为组合变形。如图6-1(a)所示小型压力机的框架。为分析框架立柱的变形,将外力向立柱的轴线简化(图6-1b),便可看出,立柱承受了由F引起的拉伸和由引起的弯曲。图6-16.1.2 弹性叠加原理弹性叠加原理也称为线性叠加原理。该原理对于求解弹性力学问题极为有用,它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。在分析组合变形时,可先将外力进行简化或分解,把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷,其中每一组载荷对应
5、着一种基本变形。例如,在行面对例子中,把外力转化为对应着轴向拉伸的F和对应着弯曲的M。这样,可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移,然后将所得结果叠加,便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移,这就是叠加原理。现在再作一些更广泛的阐述。设构件某点的位移与载荷的关系是线性的,例如,在简支梁的跨度中点作用集中力F时,右端支座截面的转角为这里转角与载荷F的关系是线性的。是一个系数,只要明确F垂直于轴线且作用于跨度中点,则这一系数与F的大小无关。类似的线性关系还可举出很多,可综合为,构件A点因载荷引起的位移与的关系是线性的,即 (a)这里是一个系数,在的作用点和方向给定后,与的大小无关
6、,亦即不是的函数。同理,A点因另一载荷引起的位移为 (b)系数也不是的函数。若在构件上先作用,然后再作用。因为在未受力时开始作用,这与(a)式所表示的情况相同,所以A点的位移为。在作用时,因构件上已存在,它与(b)式所代表的情况不同,所以暂时用一个带撇的系数代替,得A点的位移为。这样,当先作用后作用时,A点的位移为 (c)式中的系数也应该与和的大小无关,即不是或函数。因为如果与和有关,则与相乘后的就不再是线性的。这与力与位移是线性的关系的前提相矛盾。现在从构件上先解除,这时设A点的位移为。这里的负号表示卸载,上的一撇也是为了区别于。但也与和无关。解除后,构件上只有,如再解除,就相当于(b)式代
7、表的情况的卸载过程,所以A点位移应为。和都解除后,构件上无任何外力,是它的自然状态,位移应等于零。于是或者写成根据上面的论述,式中两个系数都不是载荷的函数,而且和为任意值时,上式都应该得到满足。这就只有两个系数都等于零,才有可能,即于是(c)式化为 比较(a),(b)和(d)三式,可见,和共同作用下的位移,等于和分别单独作用时位移的叠加。如果点到上述加力次序,先加后加,用完全相似的方法,必须仍可得到(d)式。这表明位移与加力的次序无关。以上结论可以推广到外力多于两个的情况,也可推广到应变、应力、内力与外力成线性关系的情况。可见,叠加院里的成立,要求位移、应力、应变和内力等与外力成线性关系。当不
8、能保证上述线性关系时,叠加原理不能使用。 叠加原理只适用于小变形,即线弹性条件,因为基本方程和边界条件均是在小变形条件下得到的。此外,对于细长构件的弹性稳定性问题,梁的纵向及横向受力问题及弹塑性问题,叠加原理都不能适用。6.2 应力状态分析 6.2.1二向应力状态的解析法工程上,一般构件的受力部比较复杂,因此,在构件的某一点处所取得已知单元体方向的应力通常不是最大的应力方向。下面来讨论二向应力状态下,已知通过一点的某些截面上的应力后,如何确定通过这一点的其他截面上的应力,从而确定主应力和主平面。从受力构件上截取一单元体。其一对侧面上应力为零,而另两对侧面上分别作用有应力如图 6-7(a)所示,
9、这类单元体是二问应力状态的一般情况。图 6-7(b)为单元体的正投影。这里和是法线与轴平行的面上的正应力和切应力;和是法线与轴平行的面上的应力。.切应力(或),下角标(或)表示切应力作用平面的法线的方向;应力的正负号规定为:正应力以拉应力为正,而压应力为负;切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正,反之为负。按照以上规定,在图 6-7(a)中,和皆为正,而为负。假想取任一与平面垂直的斜截面,如图 6-7(b),其外法线 与轴的夹角为。规定由 轴逆时针转向外法线时,为正,反之为负。以截面把单元体截开,取左半部分为研究对象,如图 6-7(c)。斜截面上的正应力为,切应力为,。设面的面积为,则面
10、和面的面积分别是和, 把作用于部分上的力投影于面的外法线 和切线的方向,列静力平衡方程,得由切应力互等定理有代入以上平衡方程,整理(6-1) (6-2)可见,斜截面上的正应力和切应力都是角的函数。这样,在二向应力状态下,只要知道一对互相垂直面上的应力和,就可以依式(6-1)、式(6-2)求出为任意值时的斜截而上的应力和。下面来推导主应力和确定主平面的角度的公式。将式(6-1)对导数得 (a)令此导数等于零,可求得达到极值时的值,用来表示,有 (b)化简后得 ( 6-3)由式(6-3)可求出的相差的两个根,它们确定相互垂直的两个平面,其中一个是最大正应力所在平面,另一个是最小正应力所在的平面。由
11、三角关系 (c) (d)将式(6-3)代入式(c)、式(d),再代入式(6- 1),整理后可求得和的计算表达式 (6-4)由式(6-4)所求得的两个相差的值中哪一个是作用面的方位角,哪一个是作用面的方位角?一般约定用表示两个正应力中代数值较大的一个,即则两个角度中绝对值较小的一个确定所在的平面。比较式(6-2)和式(b),可见满足式(b)的角恰好使等于零,这表明正应力取得极值的截面上,切应力必为零,即正应力的极值就是单元体的主应力。用相似的方法,可以确定最大和最小切应力以及它们所在的平面。将式(6-2)对求导数,得 (e)令此导数等于零,可求得取得极值时的值,用来表示,有 (6-5)由此式也可
12、求出相差的两个,其中一个对应的作用面是切应力极大值所在的平面,另一个对应的作用面是切应力极小值所在的平面,两个切应力分别以来表示,称为最大切应力和最小切应力。由式(6-5)解出和代入式(6-2),求得切应力的最大值和最小值为 (6-6)比较式(6-3)和式(6-5),有所以有即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为。例 6-1 讨论圆周扭转时的应力状态,并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解:圆轴扭转时,在横截面的边缘处切应力最大,其值为 (f)在圆轴的表层,按图6-8(a)所示方式取出单元体ABCD,单元体各面上的应力如图6-8(b)所示, (g)这就是前而所讨论的纯剪切应力状态。把式(g)代
13、入式(22-4),得=由式(6-3)所以, 以上结果表明,从x铀量起,由 (顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为,而由所确定的主平面上的主应力为。按照主应力的记号规定所以,纯剪切的两个主应力的绝对值相等,都等于切应力,但一为拉应力,一为压应力。圆截面铸铁试件扭转时,表面各点所在的主平面连成倾角为的螺旋面,如图6-8(a)所示。由于铸铁抗拉强度较低,试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏,如图 6-8(c)所示。图 6-8例 6-2 求如图 6-9所示单元体的主应力值及主方向,并确定最大切应力值。图6-9解:按应力符号规则选取代入公式求主应力及其方位因此所以,即由确定的主平面上,作用着主应力,
14、由确定的主平面上,作用着主应力。求最大切应力:所以最大切应力为。三向应力解析分析简介6.2.2三向应力状态分析的图解法以上所述平面应力状态的应力分析,也可以利用图解法进行。由式(6-1)和式(6-2)可知,正应力和切应力都是,说明在之间存在着函数关系。下面来推导之间的关系。首先,将式(6-1)和式(6-2)分别改写成如下形式然后将以上两式各自平方后相加,于是得此为为变量的圆的方程,以为横坐标,为纵坐标,则此圆圆心O的坐标为,半径为,此圆称为应力圆或摩尔(Mohr)圆。圆上任一点的横纵坐标,则分别代表围绕一点的单元体在各个不同方位截面上的正应力与切应力。这种通过作应力圆求任意斜截面的应力的方法称
15、为应力分析的图解法。下面以图6-10所示二向应力状态为例,说明应力圆的做法。作坐标系;选择合适的比例尺,作出和截面x和截面y上两对应力所对应的点和;连接和两点,与轴交于C点;以C点为圆心,或为半径画圆,即为所要作的应力圆。要求图6-10(a)中斜截面上的应力,在应力圆上将线段沿转向转过角,得E点。E点的横坐标和纵坐标值即分别为斜截面上的正应力与切应力。图6-10(b)中的.两点的横坐标分别为即为主应力所在面方位角的2倍。在应力圆中线段转向线段为顺时针,那么在图6-10(a)的单元体上从x轴应顺时针转过角,即为主平面。在图上,.两点相差,则在单元体上两平面相差。和是,的点,其值等于R,两点相差,
16、则在单元体上最大切应力和最小切应力所在的平面相差.线段与线段正交,说明在单元体上主平面与最大切应力和最小切应力所在平面相差.综上所述,应力圆与单元体有如下对应关系:点面对应。应力圆上某一点的坐标值,分别对应着单元体上某一方位面上的正应力与切应力。转向对应。应力圆半径旋转时,单元体上斜截面的外法线绕x轴应沿相同转向旋转。二倍角对应。应力圆上的角度是相应单元体上角度的2倍。应力符号对应。单元体上正号正应力,在应力圆上位于纵坐标的右方,反之位于左方;使单元体有逆时针旋转趋势的切应力,在应力圆上位于横坐标轴的下方,反之位于上方。例6-3 已知图6-11(a)所示单元体的。试用图解法求主应力,并确定主平
17、面位置。图6-11解:(1)建立坐标系,以轴为横坐标轴,轴为纵坐标轴。(2)按合适的比例,确定点。(3)连接与点,交横坐标于C点。(4)以C点为圆心,以或为半径作圆,即为所要作的应力圆。(5)所以,。即,在单元体中从x轴以逆时针方向量取,确定所在主平面的法线,如图6-11(a)所示。6.3 强度理论材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限,脆性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定;材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。但是对于材料在一般二向应力状态下以及三向应力状态下的强度,则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合,所以不可
18、能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律,提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设强度理论,以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。材料的强度破坏有两种类型: (1)在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂。 (2)产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。工程中常用的强度理论接上述两种破坏类型分为: (1)研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论,其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。 (2)研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论,其中包括最大切应力理论和畸变能密度理论。下面分别加以介绍。6.3.1 最大拉应力理论
19、(第一强度理论)受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪,第一强度理论认为,在任何应力状态下,当一点处三个主应力中的拉伸主应力达到该材料在单轴拉伸试验或其他使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力时就发生断裂。因此,第一强度理论关于脆性断裂的判据为而相应的强度条件则是 (6-11)式中,为对应于脆性断裂的许用拉应力,而 n为安全系数。这一理论与均质脆性材料(例如铸铁、玻璃、石膏等)的实验结果相吻合。6.3.2最大拉应变理论(第二强度理论)第二强度理论认为,在任何应力状态下,当一点处的最大伸长线应变, 达到该材料在单轴拉仲试验、单轴压缩试验或其他试验中发生脆性断裂时与断裂面垂蛊的
20、极限伸长线应变时就会发生断裂。因此,第二强度理论关于脆性断裂的判据为对于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变, 如是由单轴拉伸试验测定的(例如,对铸铁等脆性金属材料),那么;故有断裂的判据为由广义胡克定律,得断裂判据为则相应的强度条件则为 (6-12)式中,对应于脆性断裂的许用拉应力,而n为安全系数。石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时,往往出现纵向裂缝而断裂破坏,而最大伸长线应变发生于横向,最大伸长理论可以很好的解释这种现象。但是实验结果表明,这一理论仅仅与少数脆性材料在某些情况下的破坏相符,并不能用来解释脆性破坏的一般规律,故工程上应用较少。6.3.3最大切应力理论(第三强度理论)低碳钢在单轴拉
21、伸而屈服时出现滑移等现象,而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(斜截面)。据此,第三强度理论认为,在任何应力状态下当一点处的最大切应力达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值、时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限从而有材料(例如,低碳钢),上列屈服判据可写为即 把除以安全系数得许用应力,相应的强度条件则为 (6- 13)从上述屈服判据和强度条件可见,这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力对材料发生屈服的影响,因此它与试验结果会有一定误差,但结果偏于安全。6.3.4最大畸变能理论(第四强度理论)注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服,第四强度理论
22、认为,在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的畸变能密度达到极限值所致,即式中,、是构成危险点处的三个主应力,把除以安全系数碍许用应力,相应的强度条件则为 (6-14)这个理论比第三强度理论更符合已有的一些二向应力状态下的试验结果,但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。6.3.5 摩尔库仑理论前面所述四个强度理论,主要是采用科学假设的方法建立的,它们是对决定材料强度失效或破坏的主要因素,根据一定的实验基础,进行假设,然后验证。所以观点明确,物理意义清楚。当然,强度失效或破坏的因素很多(特别是微观、细观因素很多),一两个主要因素不可能概括全部,因此理论与实验之间的偏差是难免的。正是
23、这种原因,以往有些强度理论尽管物理意义似乎很合理(例如最大伸长线应变理论),但由于同实验结果偏差太大,也很快被淘汰。因此,一个从宏观角度描述现象的理论能否成立,关键仍在于能否同实验结果相符合。所以基于这种考虑,近代工程科学中较多地采用唯象学的方法,即根据尽可能多的实验结果对现象和数据进行综合分析和描述,确定出其行为过程,而不过多地注意其物理意义的阐述。摩尔-库仑强度理论就是综合实验结果建立的。单向拉伸试验时,失效应力为屈服极限或强度极限。在平面内,以失效应力为直径作应力圆,称为极限应力圆(图12.24)。同样,在单向压缩试验确定的极限应力圆为 。由纯剪切试验确定的极限应力圆是以 为半径的圆。对
24、任意的应力状态,设想三个主应力按比例增加,直至材料以屈服或断裂的形式失效。这时,由三个主应力可确定三个主应力圆。现在只作出三个应力圆中最大的一个,亦即由 和 确定的应力圆,如图12.24中的圆 。按上述方式,在 面内得到一系列的极限应力圆。于是可以做出它们的包络线。包络线当然与材料的性质有关,不同的材料包络线也不一样;但对同一材料则认为它是唯一的。对一个已知的应力状态,如由和确定的应力圆在上述包络线之内,则这一应力状态不会引起失效。如恰与包络线相切,就表明这一应力状态已达到失效状态。图 12.24 图12.25在实用中,为了利用有限的试验数据便可近似地确定包络线,常以单向拉伸和压缩的两个极限应
25、力圆的公切线代替包络线,若再除以安全系数,便得如图12.25所示以圆的公切线代替包络线的情况。图中和分别为材料的抗拉和抗压许用应力。若由和确定的应力圆在公切线和之内,则这样的应力状态是安全的。当应力圆与公切线相切时,便是许可状态的最高界限。由图12,25中各线段间的几何关系可得到 (a)其中将以上各式代入式(a),经简化后得考虑到一定的安全储备,于是摩尔库仑理论的强度条件为写成相应应力形式(12.29)对抗拉和抗压强度相等的材料,式(12.29)化为成为第三强度理论的强度条件。当或 分别同单向拉伸或单向压缩实验吻合。摩尔库仑强度理论可以用来说明材料的脆性断裂和塑性屈服,但仍然未考虑的影响。与前
26、述四个强度理论相比较,它不是只考虑 , ,各因素中的一个,而是考虑了和的组合,因此摩尔库仑强度理论是比较完善的。 _6.4组合变形的强度计算6.4.1 薄壁压力容器如果容器的壁厚t远小于容器中面的最小曲率半径R(如),则这种容器就称为薄壁容器;反之,称为厚壁容器。一、圆筒形薄壁容器设圆筒形薄壁容器的平均直径为D,壁厚为t,收到所装流体的压力为p,如图6-17(a)所示,如果不考虑圆桶自重和圆筒内所装流体的重量,则筒体在内压力作用下只产生轴向伸长和周向胀大的变形,因此在筒壁的总横两截面上只有正应力,而无剪应力。用横截面将圆筒截开,取筒的左半边部分连同所装流体一起为隔离体(图6-17(b),由于筒
27、壁很薄,可认为筒壁中的应力沿壁厚是均匀分布的。流体作用于隔离体的压力的合力为图6-17由静平衡方程得 (6-15)再用两个横截面在离端盖较远处截取长为l的圆筒,并以纵向对称面将其截为两半,取其下半部分连同所装液体一起为分离体(图6-17(c),同样认为应力沿壁厚是均匀分布的。流体作用于分离体的压力的合力为静平衡方程 (6-16)由式(6-15)和式(6-16)得即圆筒形薄壁容器的筒壁的周向应力为轴向应力的2倍。圆筒壁上任一点A的应力状态如图6-17(a)所示,要说明的是,圆筒内表面虽然直接受内压p的作用,但p远小于和,于是由内压p引起的径向应力可以忽略不计;又圆筒外表面为自由表面,因此圆筒上任
28、一点处的应力状态可近似地看作为二向应力状态。二、圆球形薄壁容器设圆球形薄壁容器的平均直径为D,壁厚为t。所受内压为p。如图6-18(a)所示。图6-18由于圆球的对称性,可取半个圆球连同所装的流体一起为分离体(图6-18(b))。流体作用于分离体的压力的合力为由静平衡方程得 (6-17)如果略去径向应力,则球璧上任一点A处的应力状态如图6-18(a)所示,为一等值二向应力状态。6.4.2 偏心拉压问题如果外力的作用线平行于杆件的轴线,但不通过横截面的形心,则引起偏心拉伸(或压缩),简称偏心拉压。当外力在纵向对称面时,称为单向偏心拉压。在工程实际中,经常会遇到单向偏心拉压的问题,如图 6-19中
29、开口链环和图 6-20中厂房的立柱。如果将载荷向杆件等直部分AB段的轴线平移,则作用在AB 段上的外力可视为轴向力 P和矩为的力偶,轴向力可使杆段产生拉伸(或压缩),力偶将使杆段产生弯曲,所以,偏心拉压本质上是轴向拉压与弯曲的组合变形问题。图 6-19偏心拉伸图 6-20偏心压缩下面以矩形截面杆为例,如图 6-21所示,说明单向偏心拉压的应力计算。载荷P位于纵向对称面内,杆件承受单向偏心压缩,其简图为图 6-21(b)。将P平移至轴线,如图6-21(c)所示,杆件承受压弯组合变形。图 6-21单向偏心压缩各横截面的内力:, (y为中性轴)。易知各个横截面的右侧边缘有最大压应力:若偏心距e较大,
30、则弯曲最大应力大于压缩应力,横截面左侧边缘会出现拉应力:对于脆性材料的受压立柱,由于材料抗拉能力较差以从强度方面考虑,希望横截面上的拉应力很小或不出现拉应力,这就要求偏心距控制在一定范围之内。当外力不在纵向对称面时,称为双向偏心拉压。以图6-22(a)所示矩形截面杆为例,载荷P位于Oyz面向点,讨论任意横截面四个角点的应力。图6-22 双向偏心拉伸将力P平移至轴线,如图6-22(b)所示,附加力偶矩为纵向对称面Oxy、Oxz内的两个力偶,力偶矩矢大小为,。如图6-22(b)所示,轴向力使杆件受拉,附加力偶、使杆件在Oxy和Oxz面产生弯曲,中性轴分别为z、y轴,因此,杆件承受拉伸和双向弯曲的组
31、合变形。各横截面的内力:,。可知各个横截面有相同的应力分布。利用叠加法,可求得横截面四个角点的应力。结果若为负值,则表示应力为压应力。例 6-4 钻床如图 6-23(a)所示,钻孔时受到的压力 P=15 kN,压力 P的作用线距立柱轴线的距离为 e= 400 mm,铸铁立柱的许用拉应力 = 35 MPa,许用压应力 = 120 MPa。试确定铸铁立柱的直径。解:外力分析:首先将力 P向立柱轴线简化,如图 6-23(b)所示,得到一轴向的力P和力偶。所以,立柱产生的是拉伸与弯曲的组合变形。内力分析:显然,立柱各个横截面的内力为:轴力;弯矩图6-23 例6-4图应力分析;与轴力对应的拉应力为与弯矩
32、对应的最大应力为应力分布于叠加结果如图6-23(c)所示,可得最大拉应力发生在横截面的右边缘,其值为最大压应力发生在横截面的左边缘点,其值为和的差,小于。强度计算:由于铸铁的许用拉应力小于许用压应力,而立柱的因此,应根据最大拉应力来进行强度计算。统一单位,代入数据,得到解此方程,就可以得到立柱的直径d。数学上求解三次方程比较困难,因此,在工程计算中常常采用一种简便的方法。由例6-4的结果可以看出,一般情况下,产生拉伸(或压缩)和弯曲组合变形的杆件中,弯曲正应力是主要的。所以,先按弯曲轻度条件初步确定直径,考虑轴力的影响,适当增大所取直径的值,再按偏心拉伸的轻度条件进行强度校核,若与徐永拉应力相
33、差较大,再做调整,逐步逼近,最终确定出既满足强度条件有使和接近的直径,这样材料的承载能力才是好的。6.4.3 圆轴弯扭组合变形的强度计算借助于带轮或齿轮传递功率的传动轴,如图 6-24(a)所示。工作时在齿轮的齿上均有外力作用。将作用在齿轮上的力向轴的截面形心简化便得到与之等效的力和力偶,这表明轴将承受横向载荷和扭转载荷,如图 6-24(b)所示。为简单起见,可以用轴线受力团代替图 6-24(b)中的受力图,如图 6-24(c)所示,这种称为传动轴的计算简图。图6-24 传动轴及其计算简图为对承受弯曲与扭转共同作用下的圆轴进行强度设计,一般需要弯矩图和扭矩图(剪力一般忽略不计),并据此确定传动
34、轴上可能的危险图。因为是圆截面,所以当危险面上有两个弯矩和同时作用时,应按矢量求和的方法,确定危险面上总弯矩M的大小与方法(图6-25(a)(b)。图6-25 危险界面上的内力分量根据截面上的总弯矩和扭矩的实际方向,以及它们分别产生的正应力和剪应力分布,即可确定承受弯曲与扭转圆轴的危险点及其应力状态,如图6-26(a)、(b)所示。微元截面上的正应力和剪应力分别为其中, 式中,d为圆轴的直径。图6-26 承受弯曲与扭转圆轴的危险点及其应力状态图6-26的应力状态因为其承受弯曲与扭转的圆轴一般有韧性材料制成,故可用最大剪应力准则或畸变能密度准则作为强度设计的依据。于是,得到设计准则:将和的表达式
35、代入上式,并考虑到,便得到 (6-18) (6-19) 引入记号 (6-20) (6-21)式(6-18)、式(6-19)变为 (6-22) (6-23)式中,和分别称为基于最大剪应力准则和基于畸变能密度准则的计算弯矩。将代入式(6-22)、式(6-23),便得到承受弯矩与扭转的圆轴直径的设计公式: (6-24) (6-25)需要指出的是,对于承受纯扭转的圆轴,只要令的表达式(6-20)或的表达式(6-21)中的弯矩,即可进行同样的设计计算。例题6-4 图6-27中所示电动机的功率,转速,皮带轮的直径,皮带松边拉力为,紧边拉力为.电动机轴外伸部分长度,轴的直径。若已知许用应力,试用最大剪应力准
36、则校核电动机轴的强度。图6-27 例题6-4图解:1.计算外加力偶的力偶矩以及皮带拉力电动机通过带轮输出功率,因而承受由皮带拉力引起的扭转和弯曲共同作用。根据轴传递的功率、轴的转速与外加力偶矩之间的关系,作用在带轮上的外加力偶矩为根据作用在皮带上的拉力与外加力偶矩之间的关系,有于是,作用在皮带上的拉力2. 确定危险面上的弯矩和扭矩将作用在带轮上的皮带拉力向轴线简化,得到一个力和一个力偶,即有轴的左端可以看出自由端,右端可视为固定端约束。由于问题比较简单,可以不必画出弯矩图和扭矩图,就可以直接判断出固定端出的横截面为危险面,其上之弯矩和扭矩分别为应用最大剪应力准则,由式(6-18)有=所以,电动
37、机轴的强度是安全的。4. 以主应力表示的广义胡克定律。在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 (a)此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出: (b)在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即 或 (c)对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示。根据剪应力互等定律,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力(下图)和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变
38、只与正应力有关,与剪应力无关;而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变。因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用(a)、(b)、(c)三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可。图示 应力分解如在正应力x单独作用时(图10-17(b),单元体在x方向的线应变;在y单独作用时(图10-17(c),单元体在x方向的线应变为;在z单独作用时(图10-17 (d),单元体在x方向的线应变为;在共同作用下,单元体在x方向的线应变为: 同理,可求出单元体在y和z方向的线应变。最后
39、得 (10-9)对于剪应变与剪应力之间,由于剪应变只与剪应力有关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变。因而仍然是(c)式所表示的关系。这样,在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是 (10-10)公式(10-9)和(10-10)就是三向应力状态时的广义胡克定律。当单元体的六个面是主平面时,使x、y、z的方向分别与主应力的方向一致,这时有广义胡克定律化为:1、2、3方向分别与主应力1、2、3的方向一致,称为一点处的主应变。三个主应变按代数值的大小排列,1 2 3,其中,1和3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值。第7章 梁的弯曲变形与简单静不定问题
40、 7.1 梁的弯曲变形7.3.1梁弯曲变形计算的积分法讨论弯曲变形时,以变形前的梁轴线为x轴,垂直向上的轴为y轴(图7-1),xy平面为梁的纵向对称面。在对称弯曲的情况下,变形后梁的轴线将成为xy平面内的一条曲线,称为挠曲线。挠曲线上横坐标为x的人一点的纵坐标,用w来表示,它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移,称为挠度。这样,挠曲线的方程式可以写成 (7.1)弯曲变形中,梁的横截面对其原来位置转过的角度,称为截面转角。根据平面假设,弯曲变形前垂直于轴线(x轴)的横截面,变形后垂直于挠曲线。所以,截面转角就是y轴与挠曲线法线的夹角。它应等于挠曲线的倾角,即等于x轴与挠曲线切线的夹角。故有
41、(7.2)挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量。在图7-1所示的坐标系中,向上的挠度和反时针的转角为正。纯弯曲情况下,弯矩与曲率间的关系为: (a)横力弯曲时,梁截面上有弯矩也有剪力,(a)式只代表弯矩对弯曲变形的影响。对跨度远大于截面高度的梁,剪力对弯曲变形的影响可以省略,(a)式便可作为横力弯曲变形的基本方程,这时,和皆为x的函数。把图7-1中的微分弧段放大为图7-2。两端法线的交点即为曲率中心,并确定了曲率半径。显然于是(a)式化为 (b)这里取绝对值是因未曾考虑的符号。若弯矩为正,则挠曲线向下凸出,也就是图7-2所示的情况。在我们选定的坐标系中(y轴向上为正),随着弧长s的增加,也是增
42、加的,即正曾量对应也是正的。这样,考虑符号在内,(b)式应写成 (c)由公式(7.2)得,注意到,上式成为代入(c)式得(7.3)这就是挠曲线的微分方程,适用于弯曲变形的任意情况,它是非线性的。为了求解的方便,在小变形的情况下,可将方程(7.3)线性化。因为在工程问题中,梁的挠度一般都远小于跨度,挠曲线是已非常平坦的曲线,转角也是一个非常小的角度,于是公式(7.2)可以写成(7.4)有与挠曲线即为平坦,很小,在(7.3)式中与1相比可以省略,于是(7.5)这就是挠曲线的近似微分方程。对于等截面梁,I 为常量,积分时可将EI 从积分号内提出.于是,式(7.5)也可以写成积分一次,可得转角方程再积
43、分一次,得挠曲线方程式中EI为粱的抗弯刚度.积分常数 C、D由边界条件决定.例如,铰链支座处挠度为零;固定端支座处转角和挠度均为零. 若由外力将粱分为几段,每段弯矩方程不同,则需分段列出挠曲线近似微分方程,并分段逐次积分,每段的积分结果均出现两个积分常数. 这些常数的确定,除利用边界条件外,还需利用分段处挠曲线的连续条件两段梁在交界处有相同的转角和挠度。以下举例说明利用积分法求弯曲变形的具体步骤.例7-1 求图7-3所示悬臂梁的转角方程和挠曲线方程,并确定最大转角和最大挠度f。图7-3解:建立坐标系如图示.坐标为 X的任一棒截面的弯矩表达式,即梁的弯矩方程为由此便得到绕曲线近似微分方程为 (2)将其积分一次,得 (3)再积分一次,得 (4)边界条件为,将其代入(3)、(4)得积分常数, 再将积分常数代回式(3)、(4),便得转角方程和挠曲线方程分别为显然,在自由端梁有最大转角和最大挠度在所设坐标系中,B截面转角为负值,说明该截面绕中性轴顺时针旋转;B截面挠度为负值,说明该截面形心的位移垂直向下。例7-2 求图 7-4所示简支梁的转角方程和挠曲线方程,并确定其最大转角和最大挠度f。图7-4解:由平衡方程求得建立坐标系如图,梁的弯矩方程为 (1)
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