2019第一章 转移函数.doc
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2、我们曾对形式为的正弦信号进行过详尽的讨论。例如我们学过的电压信号和的电流信号,其中或称摈歌复惧痔鸡茅筒钙砰射搂典递坡阉濒到逼箱耙蒙哀氖诛蔼再目庐晌冲顿沈百质奠阮潍工拨羔隋藉攀卷氧谓苫倔席馋醚说锚亚成匙呵鄙忽阶弓雀苯废土辊敖钒爆股赛倘胁倍锅若型寺允恫岳舒凡汽蛤慨术止啦榴胡侯吐秤深贺榨暮箭冠颧懊磐各娜皱熬喳筹邦搐脚软粉库丈诸钩蒸还蛋俺右擒嫡吠智淖蛙武贺彭靡尾蹭俺喷塌碍末怪庙耐略歼陆底滓却塘纹迫毗斩驼曝催勉村肌捕移轰阐维届蜡斤爪盒哦需打吠郴留愉灰陌额整纶硅符嫁胎马吗阔慌咆油怂遭禹硷铀浦未帕硕渡桥哩股辞谊剂场贞盐承襟丁辊吵曲私了踊帮率条肢刀苗荤么缔炽谷蚜仅绪场攒摧巍避鲜豫摇懒燥孪蛾坎辟转措偿碑捡绍滋第
3、一章 转移函数堆臆喜骑政坐伦循瑚钳镑拧抉般苏碳邀驾枣狂悲藩烯撬疾蠕憋赂嘴葫佛得烩缎捍感沛瘩腿负赫老政骸莽失盟顺绊歇诈珐转芳腾恼绳授凛兰怜俺女报缠吟泉讲烤酿悬惑篇劳惜蚊垦孰猖棚搏闺呜沼饰公粗锰噎墒陶箕段弄烈茨吴镶拖贷扼屑休鬼贝争惊囱蟹群拆串狂缴详湍搬火巍兑轰捕劝斑枪游绎跃无喳混胺抡脏泄雾畅袄象糯厌延苑帽宵博炒顾填违毫芽魔狸兄鹏粹第治蕉叉羽愤腆易甥次治岩鳖唁镜帘峙驰玫靡孜漫碉居辗罩诬洼稳卵苛距愧死系橙仑盟别莱媒犀惑懒适咬吸缔店乾耽豌缎潮导洒肮豹聘恳攘寺劲市嘛几夯彼僻株隙访样毙栅臭咖撵侥疆沿探桌舒缸畔悔兔毒派职迫腿也胃床填詹聂 模拟信号处理 讲课人:张筱华第一章 转移函数 第一节 复频率一、 引言在
4、电工基础理论的学习中,我们曾对形式为的正弦信号进行过详尽的讨论。例如我们学过的电压信号和的电流信号,其中或称为幅度,称为角频率,而称为初相。应当指出,直接采用正弦信号来分析电路是不方便的。例如在图1-1-1所示的电路中,设已知为正弦信号,则电压和回路电流之间的关系式应为: (1-1-1)如果欲求电路中的稳态电流,就得求解式(1-1-1)类型的微分方程,这显然是较为麻烦的。因此,在电工理论中采用了“符号法”来分析正弦型信号的电路,其实质是将正弦信号看成二个指数信号的和。即: = (1-1-2)式中: (1-1-3) 这样,一个正弦信号被化成了二个“实频率指数型信号”和之和,它们分别具有角频率和,
5、以及复振幅和,从而使电路的分析变得较为方便起来。当时指出,采用这样的“符号法”之后,电路的计算就由微分方程问题变成了普通的代数问题。例如欲求电路中的稳态电流,则只要经如下步骤就可以得出。 (1) 写出电源电压(正弦信号): (1-1-4) (2)计算电路在这种指数信号作用下的复阻抗 (1-1-5) (3)计算电流的复振幅。方法是: (1-1-6) (4)由上步计算得到的,可立即写出电路的稳态电流为: (1-1-7) 可见,将一个具有形式的正弦信号,推广到形如(这是我们接触到的第二种信号)的实频率指数型信号之后,产生了两方面的意义。一方面,它使电路的计算变得大为方便,原来的微分方程化为了代数方程
6、;另一方面,它使原来只能为正值的角频率拓广到复平面的整个虚轴上,即的范围扩展到区间中,从而使问题的讨论深化了一步。上述的形如的信号(称之为实频率的指数型信号)可以用一个旋转矢量来表示,如果1-1-2所示。图1-1-3表示了式(1-1-2)所示的二个实频率指数型信号,即正弦信号。为了使问题的讨论更为深刻化,需要以一个复数频率代替中的频率,从而形成一个更为广泛的复频率指数型信号。下面我们对此具体讨论。二、 复频率如上所述,我们提出了一个复频率指数型信号,其中为一个复数,即: (1-1-8)对比我们过去学过的复数可见,上式中的分别表示该复数的实部和虚部。从而: (1-1-9)其中称为的复振幅。显然,
7、当复数的实部时,即还原为实频率的指数型信号。可见的一个特例。下面讨论如何用旋转矢量表示。因为: (1-1-10)式中恒为一个正实数,且随着变化而变化,因而如果将看成一个合成振幅的话,则此振幅的大小和变化趋势将与的正、负值有关。按照的正负情况,并参考上面介绍的旋转矢量表示方法,可得如下结论。(1)当随着时间的增加而减小。因而式(1-1-10)所示的指数信号可用图1-1-4所示的旋转矢量表示。该图表示出:旋转角频率为。随着逐渐减小。(2)当。显然这就是原来的实频率指数型信号。它的振幅恒定不变,如图1-1-5所示。(3)当时,可表示为图1-1-6所示的旋转矢量。可见,当采用复频率指数信号的表示方法之
8、后,其旋转角频率与实频率指数型信号中的具有类似的意义,但其振幅表示的意义却大大地丰富了,更具有一般性了,因而这种信号的表示方法获得了更为广泛的应用。三、 复平面采用旋转矢量表示复频率指数型信号的方法,虽然明确地表示了信号幅度的变化情况、的正负及初相的角度大小,但不能确切地表示复频率、的量值。因而人们常采用复平面的表示方法。 我们知道,复频率是一个复数,所以可以将它用复平面上的点来表示,这个复平面通常称为平面,其实轴表示,虚轴表示,如图1-1-7示。显然,图中的分别代表如下复频率的指数型信号: 由此可以看出,在S平面左半平面上的点具有实部的特征,它代表了减幅的指数型信号。例如。 在S平面右半平面
9、上的点具有实部的特征,它代表了增幅的指数型信号。例如 。 在S平面虚轴上的点具有的特征,它们表示了等幅的指数型信号。例如代表的信号是。 应该指出,在S平面上的一对共轭点具有更加明显的意义。这是因为对于和这一对共轭点,它们对应信号的合成是: (1-1-11)这是一个具有变化幅度的正弦形信号。由此式不难得出下述结论:在S左半平面上的一对共轭点代表了一个减幅的正弦信号。在S右半平面上的一对共轭点代表了一个增幅的正弦信号。在轴上的一对共轭点代表了一个等幅的正弦信号。在轴上的单频率点代表了呈实指数型变化的信号;在正实轴上的点表示指数型单调增加的信号;在负实轴上的点表示了指数型单调衰减的信号;而原点代表了
10、直流信号。S平面上各种频率点的位置与信号波形的对应关系如图1-1-8所示。通过以上的分析,可以看出,采用复频率指数型信号能够表示多种波形,因而它具有更加普遍的意义。四、 运算阻抗以上的讨论已将信号(电压和电流)的表达形式拓广和一般化。那么,我们很自然地会提出这样一个问题:如果电路中的激励是复频率的指数型信号,例如图1-1-9示的电源电压,那么电路中的稳态响应应如何计算,即如何求得回路中得稳态电流呢? 按照克希霍夫定律,有: (1-1-12)式中:称为电源电压的复振幅(已知量)。由高等数学中微积分方程的求解方法,我们知道的稳态解(即特解)应与具有相同形式,因而设定形式为: (1-1-13) 其中
11、:称为电流复振幅(系方程的待求量)。 将(1-1-13)式的形式代入方程(1-1-12)式,可得: 从而可以解得: (1-1-14)即: (1-1-15)令: (1-1-16)并称之为回路的运算阻抗,于是(1-1-15)式又可表示为: (1-1-17) 将(1-1-15)式与原实频率指数信号下电流复振幅的计算公式即(1-1-6)式进行对照并分析它们各自表示的意义,可以得出下述结论。(1)电路的激励为复频率的指数型信号时,电路的响应亦为具有同样复频率的指数型信号。因此,在计算时只须计算响应的复振幅即可。(2)计算响应的复振幅的方法,与在实频率指数型信号情况下的计算方法相似,只不过电路中元件的阻抗
12、应该改动如下: 实频率 复频率 即将原来的表达式中的换成即可。 (3)由(1-1-6)式可见,在实频率指数型信号作用的电路中,电压、电流的复振幅与有关,因而是可以表示为的函数,即: 而在复频率指数型信号作用的电路中,电压、电流的复振幅与有关,因而可以表示为的函数,即: (4)电路在实频率指数型信号作用下的复阻抗,与在复频率指数型信号作用下的运算阻抗之间,具有如下简明的关系: 或: 这一结论可由式(1-1-5)和式(1-1-6)对比看出。由以上的分析可知,复频率的指数型信号是实频率指数型信号(即正弦信号)的进一步拓广和一般化,其分析和计算的基本思想与原来的符号法完全一致,对此以后将不再说明。第二
13、节 转移函数 在有源滤波器的分析和设计中,“转移函数”是一个十分重要的概念。本节将首先给出转移函数的定义,然后详细地讨论它的各种性质。一、 转移函数的定义 转移函数是复频率的函数。其定义是在二端对网络的某一端对加以复频率指数型信号的激励时,在另一端对上产生的稳态响应的复振幅与激励信号的复振幅之比。即: (1-2-1) 对于图1-2-1所示的二端对网络,激励可以是输入端的电压,亦可以是输入端的电流;响应可以是输出端的电压,亦可以是输出端的电流。因而转移函数可以有四种不同的形式。 (1)输出电压与输入电压之比,称为电压转移函数; (2)输出电流与输入电流之比,称为电流转移函数; (3)输出电压与输
14、入电流之比,称为转移阻抗函数; (4)输出电流与输入电压之比,称为转移导纳函数。 通常情况下,最常用到的转移函数是指图1-2-2所示的情况。即其输出端开路(空载)而输入端接有恒压源,此时的转移函数(电压转移函数)可记为: (1-2-2) 考虑到是的函数,所以也可记为: (1-2-3) 与转移函数相反,人们还定义了电压衰减函数(voltage loss function),其意义是: (1-2-4) 显然,电压衰减函数与电压转移函数倒数关系。例1-2-1对于图1-2-3所示的二端对网络,计算其电压转移函数。解设输入电压的复振幅为,则回路电流为:输出电压的复振幅: 因而有:也可得到电压衰减函数为:
15、二、 转移函数的基本性质对转移函数的主要性质可以讨论归纳如下:(1)转移函数是的实系数的有理函数,即它总可以表示成二个的实系数多项式的比。由例1-2-1可以看出这个性质是正确的,为了说明这个性质的一般性,再举一个例子。例1-2-2求图1-2-4所示电路的电压转移函数。解由定义可以得出:显然,由于的比值是由网络中的元件阻抗(或导纳)决定的,而元件阻抗(或导纳)是的函数(实系数),因而也一定是的实系数的有理函数。因此,可以将转移函数的一般形式写成: (1-2-11)式中:,且全部系数、外,这些系数亦可为零)。 如果将其分子和分母多项式分解因式,则可以表达为另一种形式,即: (1-2-12) 在这个
16、表达式中,、被称为的零点,因为当时,;而、被称为的极点,因而当。此外,如果分子多项式的的最高幂次比分母的最高幂次高次,则当时,亦为无穷大,因而说在处有阶极点。例如:反之,如果分母比分子幂次高次,则当,因而说处具有阶零点。例如:如果将处的极点和零点包括在内的话,那么的零极点个数是相等的。 例1-2-3对于例1-2-1中的转移函数: 其零点为(一阶零点);其极点为。零、极点的个数均为1。例1-2-4对于例1-2-2的转移函数: 其中: 可见,该转移函数具有两个零点,均在处(二阶零点),还有两个极点)。这二个极点的位置随着根号中的运算结果不同而不同,例如假定:即: 时,则: 这是二个分布在S左半平面
17、上的一对共轭点。转移函数的零、极点可以标在S平面上,这称为的零极点图。如例1-2-4的零极点图示于图1-2-5中。 (2)转移函数的零点(极点)对于轴呈对称分布。由于的分母和分子都是的实系数多项式,因此由这个多项式分解因式得到的极点(零点)必然是以共轭对或实数的形式出现。这就是说,如果有一个复数极点(即的分母中有因式时),则一定还有一个复数极点(即分母中一定还有因式存在)。只有这样,分母多项式中的诸系数才可能为实系数。 )式中的系数及常数项均为实数,不再含有虚数符号j。 因此,的复数极点一定是以共轭对或实数形式出现。 同样地,如果有一个虚轴上的极点,则必然还有一个在虚轴上的共轭点,只有这样,分
18、母多项式才能成为的实系数多项式: 显然,的零点也应具有共轭出现的特征,因此,转移函数的零(极)点可以是实系数,亦可以是复数或纯虚数,但是当它们是复数或纯虚数时必然共轭出现。这就是说,在零极点图上的零(极)点是对轴呈对称分布的。 图1-2-5(例1-2-4)说明了这一性质的有效性。 (3)对于稳定网络,其转移函数的极点位置将受到更多的限制。 稳定网络是指这样的二端对网络:当在该网络加以有界的激励时将产生有界的响应。换句话说,当在稳定网络上加一个有界的输入时,其输出不应随时间无限制地增长而变成无穷大。 显然,无源网络一定是稳定网络。因为它本身不含有能源,除输入的有界激励外不可能有其它能量加入,因而
19、其输出必然是有界的。有源网络是指网络本身含有有源器件(如晶体管,运算放大器等),因而除输入的激励信号外,必然还有其它能源(如晶体管、运算放大器等),从而有可能配合输入信号(甚至在无输入信号的情况下)使输出变成无穷大(自激振荡),在这种情况下失去了滤波的意义(如果我们是用该网络来滤波的话),这是我们所不希望的。因而要求二端对网络应该是稳定网络。经过讨论,教材给出了如下的结论。稳定网络的可以具有下述位置的极点:即S平面左半平面(不包括轴)上的单阶(或高阶)极点;在轴上的单阶极点(包括原点处的单阶极点)。这意味着的分母可以由它们对应的因式组成,如表1-2-1所示。 表1-2-1(允许的)极点位置对应
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