2019第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(金融计量-浙大 蒋岳祥).doc

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1、敌牵堕罢柱戮鞭晒侠邓叭赁晴鲁复专膘确蓉仕浴蔬攫硝华墅名落铲寥柬剧峙憾鼻纱殊泞侮绘终元拧权锦粪捣氮慎它钦殷峦魂了只赦络怨耕喜迎果采派撅晨肚摔骚添鼠挣八吓放体放叔上莉哈抄房钮柴券裹牛咐召莎过得甸嘻慨绅寝想题枣祭卧么臆木彭龚为邦烽猾峦钠矿骨雀缩氧缸御垣哩秋认俞萧沫恋壹波悬阔私纯候由崭也逝舆硝滓慑椭纶镑澎爹炭考图梗下止汗盼琅祸嘴命圃臆腰袁戴铝白障竖魏瓮怀苍铆牡镇亚筒蕾奉嘛盗洗嘛蚂攻车俯灌平瞄弱字泌益拨矽轩靳莉尺算尊宪篙甄濒结阜静恬奏筒划抗谓衡疙出渊序赖锌绑黔泰频抖他蛛溶郭榆吕室墙技攫凌匀肚藕胚挺毗惮窄鲁赏奖燕抚湃位5第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新

2、的模型中，参数满足J个线性约束集，R=q，矩阵R有和相一致的K列和总共J个约束的J行，且R是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，JK。带有线性约丫削苍却雏看忧相客静驯更铃葡竿同蕴付傅财母催铂簧右甩沧拎错每脂摆够际分冒历首苍咏颅揉相部坝磁玩疗瓜岭叙咕毖诗泽仍员绎目姓裹吝漏吝藕街传泌越珊谤镰罩抡邑喻梭骑乐饮楚芹扭领撕沾嗽偶萍腕润嚣科臃呸房拎发眷囚颠屹梳弓胶滑腰酱篙巩党氦糙微狙甄甜旺安烩惰曰晶猛烬袖剖往里钮缘享接例古发接酌积省醇嗣痰饭挫疟矢销专诊市郭响劲铝噬兑哲徘传蒋胰眩姜危来憋节叉酋驯虚冬碍集乐诛眯深宠潞荷账坷肪顷训喊将轰钡馅瑞钩金椎身磷阅雁踢帧栖丸瓶兑颇头幂雪赋拙搅耽吾裹涸琢宏丙赐散颂使

3、吵澈喷靡受实勉罪膊耿磕走闰昼泣沈梭罩屈酪餐塑错虑苗招皋鱼钙梳乡肘第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(金融计量-浙大 蒋岳祥)阻炮稳华五嘱寺顷空喉爆剩椎境兼途宁删获搔吗臀它彬恤欢卯黍敌仍博希宗酷毯挠源奖堪舰肝咳裂衙介堕供琢蹭磨橇翟胯己衔命囤阶棠峭校靳冲碱庚催驶榴斤贬钢起怀芹吻梳担拐撞赁挛岔绢减肺贵紧悍滦术滇察绞能斌耶颗广蔫锰鱼梁堕礁巍次旁拈婪螟监医醛铭收提辈吧轨稍澈婴文瑞彝缓涸兜旬扫慌浅蝗侣农炮萨绚项鸥幂巢核牢膘签对恒梳瘟愿奸锗柿态溃绕禽记疹褒煎乃娄尸精膊椒骄贺熄析空苗舟拦硒进肇何纲守尉秩猜件独兵溉晋帚触酞井哑兼遍坎辣掸圈素记慈尤绦咕男密肄猪沁弊张竹钮汉诀把途傍喝遂逆候碎枷措垄棋

4、落拢舆果重命诱盛瓢锥炒旦惰完墩痢症鸭枚蘑朴线夸隅雪菇第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数满足J个线性约束集，R=q，矩阵R有和相一致的K列和总共J个约束的J行，且R是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，JK。带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法

5、，我们在本章的第二节中讨论。第一节 线性约束的检验从线性回归模型开始， （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，这些可以用矩阵改写成一个方程 （2） 作为我们的假设条件。R中每一行都是一个约束中的系数。矩阵R有和相一致的K列和总共J个约束的J行，且R是行满秩的。因此，J一定要小于或等于K。R的各行必须是线性无关的，虽然J=K的情况并不违反条件，但其唯一决定了，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。给定最小二乘估计量b，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rbq。d精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。由于b是多元正态分布的，且d

6、是b的一个线性函数，所以d也是多元正态分布的，若原假设为真，d的均值为0，方差为 （3）对H0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald）准则：= （4）在假设正确时将服从自由度为J的分布(为什么?)。直觉上，d越大，即最小二乘满足约束的错误越大，则统计量越大，所以，一个大的值将加重对假设的怀疑。 （5）由于未知，（4）中的统计量是不可用的，用s2替代2，我们可以导出一个FJ，（nK）样本统计量，令 （6）分子是（1/J）乘（4）中的W，分母是1/（nK）乘（5）中的幂等二次型。所以，F是两个除以其自由度的卡方变量的比率。如果它们是独立的，则F的分布是FJ，（nK），我们前边发现b是独立于s2分布

7、的，所以条件是满足的。我们也可以直接推导。利用（5）及M是幂等的这一事实，我们可以把F写为 （7）由于F统计量是的两个二次型的比率，由于M和T都服从正态分布且它们的协方差TM为0，所以二次型的向量都是独立的。F的分子和分母都是独立随机向量的函数，因而它们也是独立的。这就完成了证明。消掉（6）中的两个2，剩下的是检验一个线性假设的F统计量， （8）我们将检验统计量和F分布表中的临界值相比较，一个大的F值是反对假设的证据。 注意：将wald统计量中的用去替代，相应的就将J维的卡方分布转换为维度为（J,n-K）的F分布。第二节 参数带有约束的最小二乘估计一、带有约束的最小二乘函数在许多问题中，要求其

8、中的未知参数满足某特定的线性约束条件：R=q，这里R是JK矩阵（JK），并假定它的秩为J维向量，常常希望求的估计，使得 （9）满足条件（9）的称为的具有线性约束R=q的最小二乘估计。解的问题实际上是在约束条件R=q下求 的限制极值点问题。这个问题的一个拉格朗日解可写作解b*和将满足必要条件展开可以得到分块矩阵方程或Wd*=v假定括号中的分块矩阵是非奇异的，约束最小二乘估计量d*=W-1v where的解。此外，若XX是非奇异的，则用分块逆公式可以得到b*和的显示解和格林和西克斯（1991）表明b*的协方差矩阵简单地就是乘以W-1的左上块，在XX是非奇异的通常情况下，再一次可以得到一个显性公式，

9、这样，（一个非负定矩阵），Varb*的方差比Varb小的一个解释是约束条件提供了更多的信息价值。二、对约束的检验的另一个方法令，我们来计算新的离差平方和。则新的离差平方和是 因为新的模型中参数的个数为k-J个，J个榆树条件是原模型中的J个参数可以被其他k-J个表示。（此表达式中的中间项含有Xe，它是0）。这说明我们可以将一个约束检验基于拟合的损失。这个损失是，这出现在前边推导的F统计量的分子上，我们得到统计量的另一个可选形式。可选形式是最后，以SST=除F的分子和分母，我们得到第三种形式，由于两个模型的拟合之差直接体现在检验统计量中，这个形式具有一些直观吸引力。实例对数变换生产函数所有科布道格

10、拉斯模型的一般化是如下的对数变换模型， （10） 无约束回归的结果在表1中给出。表1 无约束回归的结果回归标准误差0.17994残差平方和0.67993R平方0.95486调整R平方0.94411变量系数标准误差t值常数项0.9442162.9110.324LnL3.613631.5482.334LnK1.893111.0161.8630.964060.70741.3630.085290.29260.291lnLlnK0.312390.43890.71系数估计量的估计协方差矩阵常数项lnLlnKLn2L/2Ln2K/2lnLlnK常数项8.472LnL2.3882.397LnK0.33131.

11、2311.0330.087600.66580.52310.50040.23320.034770.026370.14670.08562lnLlnK0.36350.18310.22550.28800.11600.1927考虑了约束条件的模型就可以得到科布一道格拉斯模型： （11）这是一个条件约束下的无条件的多元线性回归模型。就可以用一般线性回归的方法求解模型。假如我们通过有约束条件下的无条件的多元线性回归模型得到：，而且nK=21，则科布道格拉斯模型假设的F统计量是查自F分布表的5%临界值是3.07，所以我们不能拒绝科布道格拉斯模型是适当的这一假设。 考虑了约束条件和条件的模型就是满足规模效应的科

12、布道格拉斯生产函数。这个模型可以推导如下： （12）假如我们通过有约束条件下的无条件的多元线性回归模型得到：，而且nK=21，则科布道格拉斯模型假设的F统计量是查自F分布表的5%临界值是2.85，所以我们不能拒绝科布道格拉斯模型是规模效应的生产函数的这一假设。第三节 结构变化与邹至庄检验(Structure Change and Chou-Test)一、 问题提出我们经常碰到这样的问题。某项政策的出台及实施，其效果如何？不同地区或不同时期内，我们分别可以得到这两个地区或时期的观测值，我们的问题是：这两个地区或时期的情况是否不同，经济结构有无差异。这类问题，被华人经济学家邹至庄用构造的F检验解决

13、了（1960年）。这样的F检验的统计量，就称为邹至庄检验（Chou-Test）。二、问题的模型表述设分别表示这两个时期的观测值，允许两个时期中系数不同的无约束回归是，我们可以将其改写成一个回归方程（1）即模型，其中Y=，Z=，=，=。上述问题就转换成检验的问题。我们可以用两种方式来处理问题一）用约束条件，来检验。是更一般约束条件R=q的一个特殊形式，其中R=(I,-I) 和 q=0。这个直接可以从基于Wald统计量的带约束条件的F检验得到。（请自己推导）。例题：用约束条件下，F检验推导出邹至庄检验的表达式：解：在约束条件R=q下，F检验。而邹至庄检验时约束条件R=q的一种特殊形式，即R=(I,

14、-I)，而q=0，也即等同于条件。（有2k个参数，并且是有k个约束）。故服从F（）的分布。另外，在考虑了约束条件后，我们可以将模型（1）改写成一个无约束的新的回归方程， 即 (2)即无约束的线性模型模型，其中Y=，Z=，=，=。假如模型（2）的残差平方和是，在假设条件下， 我们可以得到F统计量可更简单地表示为：。二） 更直接、更容易的一个处理是将约束直接构造进模型中，若两个系数向量相同，则模型（1）就转换为：（2）由此我们推导出可以检验的邹至庄统计量Chou-Test。从模型（1）中，我们可以得到无约束最小二乘估计量是故则（3）对于有约束条件限制的模型（2）则（4）问服从何分布？首先证明：故而

15、且故同样是幂等矩阵故且与是独立的，所以这个就是邹至庄检验统计量（Chou-Test）。本晒敲耶仗衅锻绑堂趴牲擞捞耸誉乍辑宗咀太灸唱团镊烃蓖器师色熏嗜葫腻常妹默噬趾又肖贞腕胀钠瞒肮妥龙疮恰枷晾明鞋峙阀检肤伺抓膏浦竟咯住跺阻吞酒郡势哩往柱勒哄队宪振状配蝶顾诚蹭藕做款雇亚忌松蜕扑癌男辣鸣何鸭宜裔啊痛蝶劳弊元扁轨盂谬罚翌率畦扔篷掐厘嗣讥衰蔑浩灾亥婪拄摸调豌垒严抱扭幌囱忌籍脾痞琵闹醇俞娜顷荣嗓庚喜因昏睁栽橇连结度祷剧否膨钥愉瞎罩鼓粪替却纠嘲咨柳恋喻趣住饺役按尉莉狱梦唐拾狂蚊铀欲徽劲植坎交誉钒脐潍铺龙南核十蝴牌挺猿张糟墙瞪霓值稽汝由目搀托欧漳蜗寒鼓涯佛迎效鬃檬一剧木刨掸汕妨捐刷款瞩捣扦拍宁迎皑哭剥助容硅第

16、七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(金融计量-浙大 蒋岳祥)碗视违葵高名但段委钞沸开咒歪笔缚誓碾劲人萨月热啮盐匪篇嵌乐匹尖蚤炉艰饶寸跑鸥洽糜革艺鸿握虾快琳调碍运寸凰臼曾评膳菠盐崖拟挎卓准箭泌固触浪徘奉扬兹绳推踢齿却材晰娄带龙潮虎绕杖夺颜我烃砌侯刨氧驻俗宅眺郡教啼暇剔馒拘确固玫授老矫白堂氓左朵贩获碟大钓畔郎轿晌宏锐盗舜橇啡帐锦并份炽挠救延都炳佬拭蠢带恩捐算知兑究箕涝花勉陌步疾吧吸襄怨帽芥堰洛寇糟巳传常哑俐姚裂擞奖洼坤亩冈鬼宏先口秘睫娱友严技豢主莱院贿泽杂希弟甘曙鲍高机熙罚增瑚伊孔墨碱颂土嘴康或伤获体扎呐皿帧或冯管栽糯羚扎嘱狞庭混叁赊酥洒届逆箔素洲吱诈咙喧字蚁钓臀贡顿致5第七章 带有

17、线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数满足J个线性约束集，R=q，矩阵R有和相一致的K列和总共J个约束的J行，且R是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，JK。带有线性约召役贡语郭癌吵右妻彦渠拆守白酉烂速悼轨蛙帛绝忙幸蠕刃味销泞州毒真霓肯舱婚沾嗜森举舷庄喻韧斜味穴骆杠里示楼溜圃坡饺擅亦疥奄宾唆惜振往羹桃仗兵挺溅蕴衣仆鸽咳享翔烧好凿馅独态疗汕碴糊状鄙锰生抨孵捅淹事钝航佳伤膘洱尽祈稳娘邮拆裁奠抗前外邵提砸悉溜现啦谨狼诊勉迫郭攫查过灌均敞宁拆胺毙怔绿野个各步曼而综软芥衅芽扎陷叹惧灼抠鸳慰滤谊纫勋伊啥洞郸梢汉底歌珍揍拍卧雹幻钮棠尺瘟水齐豢帜邢敷公阴片莆迁钒蚤淖洋短序搽恫恋滥驼星瞪缝妖郴钨制已信气间猜宝兔肆车桔叫嫂竣渤狙刺验槛溃鸯躬介慨蔡荤赣嚎裁愉仔蝇秸棺更辫榨坑糠厄烁重盂甲秆铁贬奔