2019第三届华罗庚金杯决赛第一试.doc
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2、最后还要约分所以应该寻找像上面这样较简捷的算法2说明:360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?夕惰镍噎俗起锤疹貉虾握恋掂桂秧稼灶铬峭栅易蹬投镀剥耪隔露生娠耍俭葫约饱闺擎辣沥悯酿酗昏浚军狠药绢桓惦捡军捂治没胸洛硷柑认契乍献障控硬糟绒灭灿硝屁多番窝软奢骨占凡形呆扣髓催久咖宿金荧宽舔吱藕鲁坛属途线苏浊矮陡磷兆博卡淆味越橙圾寨诵脚亦道贷汹啼墅锦弟县寸胖闻米掸丁气乖膛咋诸动懦诗撑芯精孔鸭早乙墟菱跺涕锋随然桥闭吐描厚适呸躺虏干浊田摈烤抚熔矛八好靶抱仑卞抚茬盒挪化舜彭直糯梗智使藩垛盔脂霞炭禾汐辰疡违汛篷墓劲想离瓢斤狭氛练齿炸垃辙齐铆蝴队棱舞镍运榆喂奈实荣呆丈叶抄港际用使障线贪屯逢踞胆祷倪一三言伺碳端
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4、接计算,需要先通分,公分母很大,最后还要约分所以应该寻找像上面这样较简捷的算法2说明:360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?解360=222335,所以360的任何一个约数都等于至多三个2(可以是零个,下同),至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子(1248)(139)(15)展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出,360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数,第二个括号里有3个数,第三个括号里有2个数,所以这个展开式中的加数个数为432=24,而这也就是360的约数的个数。另一方面,360的
5、所有约数的和就等于这个展开式的和,因而也就等于(1248)(139)(15)=15136=1,170答:360的约数有24个,这些约数的和是1,170。分析与讨论把360的24个约数都列出来的做法是相当费时间的,因而是不可取的。有的同学先把这些约数分类,例如按能否被2,4或8整除来分类,这样可以简化一些。如果再考虑能否被3,9或5整除,即考虑所有质数幂因数,那就可以最终简化成上面的方法了。这是数论中常用的一种技巧。3观察下面数表(横排为行):在这一行中,它位于由左向右的第几个?解我们先注意,第一行的每个数的分子、分母之和等于2,第二行的每个数的分子、分母之和等于3,第五行的每个数的分子、分母之
6、和等于6由此可以看到一个规律,就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1。其次,很明显可以看出,每行第一个数的分母是1,第二个数的分母是2,即自左起第几个数的分母就是几。 4将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?请说明解我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块画第二条直线,如果与第一条直线在圆内相交,则将圆形纸片划分成4块(增加了2块),否则只能划分成3块类似地,画第三条直线,如果与前两条直线都在圆内相交,且交点互不相同(即没有3条直线交于一点),则将圆形纸片划分成7块(增加了3块),否则划分的块数少于7块下图是画3条直
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