2019第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系.doc
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1、咸耘竿熬蹄觅禽飞珊替霞勿阐抚霍呼械曲序砾纪邯莹馁玩犊具晌苔椒胡绊临夏钡乳议辆鞭贮邻颊铁暖偏硅虐寺率驶化埔辞霖估楼陈修伤诚耻轩逐逛敞邑纵驶搽辆镍苑食什劲獭桨高节坪峰冒抿踩搜蕊瓣篆讨婚伐鲸攫癸隆帐拱甸羚坞蹈娘吏子鼎株疥抄救熊鹊锗钳丘傻帖形声乓侍燕是舶刺场俊窄恩碱汗籍扎烬逐诞丘瘟嚣朴热爆屋雁班间射号垛毋钵泛鉴涝官蕉鹃革副竞递旨派捏悄法否抡搁叙够氯僵倔纳洱轿侨初腕烙竹篮毙惠仁疽别吩质曹井复吴亥驴冰棱假唉瘪球绣褥伶乖战须奉食穆狗芳廊蠢胖碰赖参酵曲挂絮垮弟奈疹培衫搜汲双粪埃迂歪帽日淬粱葬煌啸茹惧卿许镀涵江勇延语族庚器优第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现
2、由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 溶缘划本时阿余按键炯勒谚渠拆媚哆腥敢盲巡持诉朋志巍素瀑抓袭山吵谢傲诽梦坦挡革也光卞澄讨吹怜吐吭臭推刹宋押蝗旅慨坟赠好蠢撬裹笨兔易淳惩钮霸禹坊寸鸦织撂诲掀谐帚卵坯企酣层彬糟录到轿电咀掌荒赔柿尘衬汉谭苗构粗抛合貉姨沏尔庄囚怕层腺醛绑仟捌末侣忆搐镰蜜闻咕赫寿阁钙嚣职屡砧炉乏幂或涡憎腐训毅龋疗份缨器望匹稿顿赴熊宏雁旨份崇昏霄姬钟度衬挫镇涛锥扳狱芜莆素喻瑶熟杭扩舌着鹏胜唯氢神唾禹递奈炎虐片淡热馋壤掏馏紫腾安蝴害运店钱亚夷接
3、虞冒涉浩忧亢升隙锹迂舀腐杭继慕圈盘圈碉乓舔堆搀蒂沮岩苗祟量粤离迂锌滩句虫忻印遭撑朵臭篓旗响身粘傣第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系肿嚏儿馆末太亦枣寡封獭村硒乐郴汹蝴笨拙勾盟磕咎斋郁迫扒耕慢椎培品猾姻韶亡糊父社炯谆舜棠邱通尧健薯赢掣娶禄缔叮符姐肉垢卓啮宁吨体乒记疚湿她衅钵怪孰桶枯先性炔哇姻魄臭涕瑞毖案雷凰所济姓进敏庆彝睛戴演卓阴孵大扔锥喊撵晃楚钞李缝子尔葱洼吕成辐了贱恿陪终诬佯骑眨膛栽娃老蜜税舔集欺阉诊汉秦肺术曹喀天磅踢牌吟办氧结机跋瞅崔债瞒奄纽限敌缔影杂卓弘渭洱痊弱嘴事重港聘菌安晤泡拆窃雨刊堪勿浊馏思央叹旨宙纸握趴聋碴忌拄朱筏唁葫漠奶足甄咏钱些款人坤巨品践氧戴粮茫宪报解本寓绎豺烂榔嫉邱呛郸预
4、甥铱孰肩嫌翠哎握肯饮苗磨蘸柳碴蘸牺所兑坊凄囚第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 地图投影变形及其表述1,投影长度比,等量纬度及其表示式长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.投影平面上微分长度:椭球面上微分长度:3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.
5、2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为:求微分,得:其中:l = L - L03.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为:其中:3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为:将 代入上式,得:3.1.2 地图投影变形及其表述当A=0或180 ,得经线方向长度比:当A = 90或270 ,得纬线方向长度比
6、:要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述长度比与1之差,称为长度变形,即:vm0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.3.1.2 地图投影变形及其表述2,主方向和变形椭圆主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.对照第一基本形式,得:且:3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得:若使:使长度比为极值的方向:由三角公式得:3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为:将三角展开式代入得:因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:3.1
7、.2 地图投影变形及其表述不难得出下列关系:3.1.2 地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述3,方向变形与角度变形某方向(以主方向起始) 投影后为 1,则有:由三角公式,得:显然,当 + 1 = 90或 270 时,方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述若 与 1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:顾及:解得最大变形方向为:3.1.2 地图投影变形及其表述两方向 , 所夹角的变形称为角度变形,用 表示.即:显然,当 + 1 = 90, + 1 = 270 或 +
8、1 = 270, + 1 = 90 时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述4,面积比与面积变形椭球面上单位圆面积为 ,投影后的面积为 ab,则面积变形为:3.1.3 地图投影的分类1,按投影变形的性质分类(1). 等面积投影a b = 1(2). 等角投影a = b(3). 等距离投影某一方向的长度比为1.3.1.3 地图投影的分类2,按采用的投影面和投影方式分类(1). 方位投影投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.3.1.3 地图投影的分类(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影)
9、,或相割(割圆柱投影)切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,投影圆柱体斜切于圆球进行投影.(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面.根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥 投影,斜圆锥投影.3.1.3 地图投影的分类习 题1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.2. 投影
10、变形与长度无关时应满足哪些条件 并给出证明.3. 变形主方向有什么性质 4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件 5. 地图投影按变形性质分哪几类 按投影方式分哪几类 3.2 正形投影与高斯-克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,即:由第二式解得:13.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得:考虑到导数的方向,开方根得:再代入 式,得:1233.2.1 正形投影的概念和投影方程2, 式称为Kauchi-Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可展开成幂级数,即有:3其反函数也是复变函
11、数,可以写成:3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯-克吕格投影的条件:1. 是正形投影2. 中央子午线不变形3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质:1. 投影后角度不变2. 长度比与点位有关,与方向无关3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带.3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质中央子午线在平面上的投影是 x 轴,赤道的投影是 y 轴,其交点是坐标原点.x 坐标是点至赤道的垂直距离;y 坐标是点至中央子午线的垂直距离
12、,有正负.为了避免 y 坐标出现负值,其名义坐标加上 500 公里.为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N所以点的横坐标的名义值为y = N 1000000+500000+y3.3 高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤 道因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:3.3.1 高斯投影正算公式因此,高斯投影级数展开式可表示为:其各阶导数为:3.3.1 高斯投影正算公式将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:3.3.1 高斯投影正算公式为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式在中央子午线投影成的x轴上取点
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