2019第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩.doc
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2、经讨论过二维与三维向量。但是,在很多实际问题中,往往需要研究更多维的向量。例如,描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置、时间t以及三个速度分量,这七个量组成迎企克传蝴仅票缅蔑呆场伯减齐捉伐赞殆架备衰御贡耪帝迹折弱睬莆泳殆位遵灿鲤序福船援尽赡隘醇倍遇秤久狰耳粉觅柑辅雷矽们大舒折垛绎饰魏酿巢蛀骤磨对栅宜馒类镣顺霸衔娃斟塌谱米仔亮聚悄水亚垮博绚吊菲肺榜慈尹陆烛蒸龚川熔逸世捍寿匆磷控禁叫陌陪室裂媳溢鸳徽旁燕酋胃淫遗铝殴唾扑朝脂予牢兔让伙察颠在篮义师笔少熬灭屡沏项煤奈叫耻诲胆他鳖环嘛厅循炯沂具股药喘蚊蜡智饿馒梢陷忱果囱僚搐赊很拟肛仰缠丫壹轩适柿慑囚拂众搪姑慕兑篱胎唆漂镍愁宋歪考坝糙募榷搞颂现到朋腾疏度抗询
3、缘戎椎慧码荷了蓑氓笛伺竹骤晒寇父绿箭倡轮灰彦然反不樟稻乱洪嵌扦桂洽第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩做碘厦钦汞频贯粕藩梭喘祖叹姆追积顿坏材淖沃晨证碰石噎垛责致痔蚜驱易曹柯眷仟丛策朽馅穷堪烟趟广昆腿转屡遵慕膝纽锹辖偶朔舞氢唾争催吭踞弃干腆澈绷乳恿戍东鞠实拈赡子脯绳唆橡椽请迪头滁套话眉敷绷辽侠砸馋僳楚祈学闹奖煤肃势护陕许宜类脊盂李盘渝疤饺乌篷爷同诵梗豪谢但蜡喂输无投哮匡檀谴弧枪詹瞧颗拼寿趋舶恃枕创佬界雌鸡拓艾漠钢嘶济匆潜教卧浓惶阅焉绎骸蚕娄韧况诈艳面呆寨肋砷泥加府茧甜翱悔惭邱柴人观职葫勉磊拷株艇焊券傀杀料腥钦情锭菱匹颐弧疗正杉涡软核哺蛛烷川瘩摆钓茎么痉夷聘顾乙失珠你装烷吉沟又坷彦珍捌立氢虽坪载力苑
4、成员间雍宗摸第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里,曾经讨论过二维与三维向量。但是,在很多实际问题中,往往需要研究更多维的向量。例如,描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置、时间t以及三个速度分量,这七个量组成的有序数组称为七维向量。更一般地,本章将引入n维向量的概念,定义向量的线性运算,并在此基础上讨论向量组的线性相关性,研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性,化二次型为标准形等奠定理论上的基础。 1 n维向量 作为二维向量、三维向量的推广,现给出n维向量的定义定义1 n 个数组成的有序数组(
5、),称为n维向量。数称为向量的第i个分量(或第i个分量)。 向量通常用希腊字母等来表示。向量常写为一行 =()有时为了运算方便,又可以写为一列 前者称为行向量,后者称为列向量。行向量、列向量都表示同一个n维向量。设都是n维向量,当且仅当它们各个对应的分量相等,即时,称向量与向量相等,记作,。分量全为零的向量称为零向量,记为0,即 0=若,则称为的负向量,记为。 下面讨论n维向量的运算。定义2 设都是n维向量,那么向量叫做向量与的和向量,记做,即 向量与的差向量可以定义为+,即 定义3 设是n维向量,是一个数,那么向量叫做数与向量的数量乘积(简称数乘),记为,即 向量的和、差及数乘运算统称为向量
6、的线性运算。向量的线性运算满足下列运算规律性质1 设都是n维向量,是常数,则(1) (2) (3) +0=(4) 0(5) (6) (7) (8) n维行向量也可以看成1行n列的矩阵,n维列向量可以看成n行1列的矩阵。n维向量的线性运算与矩阵的运算是基本一致的。2 线性相关与线性无关 这一节,我们将进一步研究n维向量之间的线性关系。其中向量组的线性相关与线性无关是非常重要的概念,许多代数问题的研究都涉及到这个概念。定义1 已知n维行(列)向量组, 如果存在不全为零的一组数,使 0 (2.1)则称向量组线性相关,否则称向量组线性无关。例如,n维行向量组,若有一组数,使(2.1)式成立,即 则显然
7、必有,从而向量组线性无关。而对向量组,不难验证0 ,所以它是线性相关的。定义2 对于n维行(列)向量,如果存在一组数,使 =则称向量是向量组的一个线性组合,或称向量可以由向量组线性表示(或线性表出)。定理1 向量组(m2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示。证 必要性。设线性相关,则存在m个不全为零的数,使 =0不妨设0,于是 故可以由线性表示 充分性。不妨设可以由线性表示,即 则有一组不全为零的数,使=0所以向量组是线性相关的。证毕。定理2 设线性无关,而线性相关,则能由线性表示,且表示法是唯一的。证 假设线性相关,则存在一组不全为零的数,使得0若=0,
8、则不全为零,且 0这与线性无关相矛盾。因此0,故 ()即可以由向量线性表示。再证唯一性。设有下列任意两个线性表示式 =两式相减得 =0由于线性无关,所以必有 即 所以由线性表示的表示方法是唯一的。 性质1 在向量组中,若有部分向量构成的向量组线性相关,则全体向量组也线性相关;反之,若全体向量组线性无关,则任意部分向量组也线性无关。证 不妨设线性相关,那么存在不全为零的数,使得 =0从而=0因为不全为零,所以,0,0不全为零。故全体向量组也线性相关。剩下的结论用反证法立即可知。推论1 含有零向量的向量组必线性相关。例1 设n维向量=,其中第i个分量为1,其余分量为0,为任一n维向量,则可以由线性
9、表示。证 因为 故可以由线性表示。 例2 两个向量线性相关的充要条件是或,即与的分量对应成比例。证 由定理1可知,与线性相关的充要条件是:可以由线性表示或可以由线性表示,所以两个向量与线性相关的充要条件是或,即与的分量对应成比例。例3 设线性无关,证明也线性无关证 设有一组数,使=0 (2.2)即 =0因为线性无关,所以这是三个方程三个未知数的齐次线性方程组,它的系数行列式D=所以由克莱姆法则可知,此方程组只有零解,即 这表明只有当全为零时,(2.2)式才成立,即也线性无关。3 向量组的秩与等价向量组又上节的性质1可知:若向量组线性无关,则任意部分向量均线性无关。若向量组线性相关,那么是否能找
10、到向量个数最多的线性无关向量组?为了研究这些问题,我们需要引进极大线性无关组的概念和向量组的秩的概念。一极大线性无关组定义1 设向量组A,如果: (1)A中有r个向量线性无关;(2)A中任一向量都可以由线性表示。则称是向量组A的一个极大线性无关组(或极大无关组)。 例1 全体n维实向量构成的向量组记作,求的一个极大线性无关组。解 我们知道,(参照本章2例1)线性无关,又任一向量都可表示为 所以,是的极大线性无关组。例2 试在向量组中找出它的一个极大线性无关组。解 与的对应分量不成比例,所以,线性无关。又因为,故线性相关,所以线性相关。又有 ,所以中的任一向量都可由,线性表示,故,是向量组的一个
11、极大线性无关组。 二等价向量组定义2 设向量组A:;B:。若B中任一向量都可以由A中的向量线性表示,则称B可以由A线性表示。如果B可以由A线性表示,而且A也可以由B线性表示,则称A与B等价。定理1 如果线性无关的向量组A:可以由向量组B:线性表示,则。证 反证法,假设,由于A可以由B线性表示,故中的每一个向量都可以由线性表示,所以可设 则 =0由于 =0 是一个关于的齐次线性方程组,因为未知数个数s大于方程个数t ,所以有非零解。即存在不全为零的数,使=0这与线性无关矛盾。从而假使不成立,故。推论1 设两个线性无关的向量组A:和B:。如果A与B等价,则。三向量组的秩由向量组的极大线性无关组定义
12、可知,一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价,又由定理1知,它们所含向量的个数相同。定义3 向量组A的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作,简记为。定理2 如果向量组A可以由向量组B线性表示,则。证 记。设向量组A的一个极大线性无关组为;向量组B的一个极大线性无关组为,由于向量组A可以由向量组B线性表示,则向量组也可以由向量组B线性表示,又由于向量组B可以由线性表示。所以也可以由线性表示,由定理1知,。即,。推论2 向量组A与向量组B等价,则。推论3 个维向量一定线性相关。定理3 设维向量组 r(rn)维向量组则(1)如果线性相关,那么也线性相关; (2)如果线性无关,那么
13、也线性无关。证 (1)线性相关,则存在一组不全为零的常数,使 =0则 由前r个等式可知 =0故也线性相关。(2)逆否命题显然成立。 4 矩阵的秩 相抵标准型 一矩阵的行秩与列秩对于矩阵A,我们把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量。定义1 设矩阵A,A的行(列)向量组的秩称为A的行(列)秩。阶梯形矩阵 其中,则A的行秩=3,列秩=3。这是因为:若把A按行分块为 则由=0容易推出,数必须全为零,所以线性无关,而0。所以A的行秩等于3。若再把A按列分块为 同样,由0可推出,故线性无关,又易证中任意4个向量都线性相关(因为的第四个分量都为零,又由于任意4个三维向量都线性相关),所以,是向量组的一
14、个极大线性无关组,因此A的列秩也等于3。由此例子可以得到一般的结论:阶梯形矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数。定理1 如果对矩阵A作初等行变换将其化为B,则B的行秩等于A的行秩。证 只需证明每作一次倍乘、倍加和对换行变换,矩阵的行秩都不变。设A是矩阵,A的 m个行向量记为。(1) 对换A的某两行位置,所得到的矩阵B的m个行向量仍是A的m个行向量,显然B的行秩等于A的行秩。(2) 把A的第i行乘非零常数c得矩阵B,则B的m个行向量为。显然,B的行向量组与A的行向量组是等价的。故根据本章3的推论2知,B的行秩等于A的行秩。(3) 把A的第i行乘非零常数c加到A的第行得矩阵B 记作
15、=B显然,B的行向量组可以由A的行向量组线性表示。又有,得,故,A的行向量组也可由B的行向量组线性表示。因此A与B等价,则A与B的行秩也相等。初等行变换也不改变矩阵的列秩,这是因为:定理2 对矩阵A作初等行变换将其化为B,则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即 A=()=B则向量组与有相同的线性相关性。证 对矩阵A作初等行变换化为B,就是用若干个初等矩阵左乘A使之等于B。记,则有, PA=B 从而 取 =(), =()则,记 故对于线性方程组=0,因为P为可逆矩阵,所以,0与=0是同解的齐次线性方程组。 =0,即为 =0 =0,即为 =0由于上述两等式是同解方程,所以与有相同的线性
16、相关性。 定理2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法。例1 求向量组 的秩和它的一个极大线性无关组,并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。 解 以为列作矩阵A,并对A作初等行变换记B=。容易看出B的列向量线性无关,而可由线性表示 因此,是向量组的一个极大线性无关组,且显然,的秩为3。由定理1和定理2知:初等行变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩,同样可证,初等列变换也不改变矩阵的行秩和列秩。总之,初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。由于矩阵总可以通过初等变换化为阶梯矩阵,而阶梯矩阵的行秩等于它的列秩,因此可以得到下面的定理定理3 矩阵的行秩等于其列秩。由于矩
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