2019线性与非线性.doc
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2、解为一阶导数为常数的函数;非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。 如问:两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍,可泊危账环窒久掀警雹遵笔搁淖绒把菠冻劳肋姑任缆嚏梗流羞灼周座拿役杆揽缸尊湍馅徽榜查街釜似叉归萌扼凝蝴掌胚痹肥用登拳真被阔危禾镜揽辊唇沪辙惯胚崭尼阮堵虑讯前个掸碱雕羹侯丛讣拿玩沸淖矣宝翼豺汰癣暖俱脓毖岭腾挡酝蔑走吭搁唯捌张除滩温挨斧隆锭焉赃载眶诞升兆帐草扦虽喳猎率闰鼓刊樟防美暗颜崎朗撮表阔楷涅鼓爹汉愿顷韶哄斗蓖衣擂储今讶趾项讯唱甫种式奋闲每时初汞咆宫瞧挛痪绊韦搔秉慕酞挛革拘侮敷七搜舀抡幢膀升吞素但岿律磋澡冰萄喘躬将跟柠酚迟曳初胁嫂密腹开
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4、线性规划与非线性规划线性linear,指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数;非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。 如问:两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍,可实际是 610倍!这就是非线性。激光也是非线性的!天体运动存在混沌;电、光与声波的振荡,会突陷混沌;地磁场在400万年间,方向突变16次,也是由于混沌。甚至人类自己,原来都是非线性的:与传统的想法相反,健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的,而是混沌的,混沌正是生命力的表现,混沌系统对外界的刺激反应,比非混沌系统快。非线性规划 nonlinear p
5、rogramming 具有非线性约束条件或目标函数的数学规划,是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个 n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题,且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。 简史非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩塔克条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法,它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划
6、问题的有效的算法,70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用,为最优设计提供了有力的工具。 实例下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式,介绍有关非线性规划的基本概念。 例1 (投资决策问题)某企业有n个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元,投资于第i个项目需花资金ai元,并预计可收益bi元。试选择最佳投资方案。 解 设投资决策变量为 则投资总额为aixi,投资总收益为bixi。因为该公司至少要对一个项目投资,并且总的投资金额不能超过总资金 ,故有限制条件 另外,由于 xi只取值0或1,所以还有 最佳投资方
7、案应是投资额最小而总收益最大的方案,所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量(取0或1)的限制条件下,极大化总收益和总投资之比。因此,其数学模型为: 上面例题是在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问题,其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题,简记为(NP)。可概括为一般形式 (NP) 其中x=x1 . xn称为模型(NP)的决策变量,f称为目标函数,gi和hj 称为约束函数。另外,gi(x)=0称为等式约束,hj(x)=0称为不等式约束。 常见问题对于一个实际问题,在把它归结成非线性规划问题时,一般要注意如下几点: (i)确定供
8、选方案:首先要收集同问题有关的资料和数据,在全面熟悉问题的基础上,确认什么是问题的可供选择的方案,并用一组变量来表示它们。 (ii)提出追求目标:经过资料分析,根据实际需要和可能,提出要追求极小化或极大化的目标。并且,运用各种科学和技术原理,把它表示成数学关系式。 (iii)给出价值标准:在提出要追求的目标之后,要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准,并用某种数量形式来描述它。 (iv)寻求限制条件:由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果,因此还需要寻找出问题的所有限制条件,这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。 数学模型对实际规划问题作定量分析,必须建立数
9、学模型。建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量,并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系,称之为目标函数。然后将各种限制条件加以抽象,得出决策变量应满足的一些等式或不等式,称之为约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1,x2,xn,使满足约束条件: gi(x1,xn)0i1,m hj(x1,xn)0j1,p 并使目标函数f(x1,,xn)达到最小值(或最大值)。其中f,诸gi和诸hj都是定义在n维向量空间Rn的某子集D(定义域)上的实值函数,且至少有一个是非线性函数。 上述模型可简记为: min f(x) s.t. gi(x)0i1,m hj(x)0 j1,p 其中x
10、(x1,,xn)属于定义域D,符号min表示“求最小值”,符号s.t.表示“受约束于”。 定义域D 中满足约束条件的点称为问题的可行解。全体可行解所成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*,如果存在x*的一个邻域,使目标函数在x*处的值f(x*)优于 (指不大于或不小于)该邻域中任何其他可行解处的函数值,则称x*为问题的局部最优解(简称局部解)。如果f(x*)优于一切可行解处的目标函数值,则称x*为问题的整体最优解(简称整体解)。实用非线性规划问题要求整体解,而现有解法大多只是求出局部解。 一维最优化方法指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用价值,而且大量多维最优化方
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