【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中苏教版 数学选修4-4 4.2 曲线的极坐标方程.doc
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1、4.2曲线的极坐标方程42.1曲线的极坐标方程的意义1曲线的极坐标方程一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(,)0;并且,极坐标适合方程f(,)0的点都在曲线上那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线2求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系(建立适当的极坐标系);(2)设点(在曲线上任取一点P(,),使点与坐标对应);(3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式);(4)化简(用极坐标,表示上述等式,化简得极坐标方程);(5)证明(证明所得的方程是曲线的极坐标方程)3直角坐标方程与极坐标方程的互化或1曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不
2、同?【提示】由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一,即(,),(,2),(,),(,)都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的惟一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程,点M(,)可以表示为(,2)或(,2)或(,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程.2在极坐标系内,如何确定某一个点P是否在某曲线C上?【提示】在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程,所以在极坐标系内,确定某一个点P是否在某一曲线C上,只需判断点P的极坐标中是否有一个坐标适合曲线C的方程即
3、可求曲线的极坐标方程(1)求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程;(2)在极坐标系中,求半径为r,圆心为C(r,)的圆的极坐标方程【自主解答】(1)如图,设M(,)(0)为直线上除点A以外的任意一点,则xAM,OAM,OMA,在OAM中,由正弦定理得,即,所以sin(),即(sincos cossin ),化简,得(cos sin )1,经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程,所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.(2)由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直径,设M(,)为圆上除点O,A以外的任意一点,如图,则OA2r,连接AM,则OMMA,在RtOAM中,OMOA
4、cosAOM,即2rcos(),即2rsin ,经验证,点O(0,0),A(2r,)的坐标皆满足上式,所以满足条件的圆的极坐标方程为2rsin .(1)求从极点出发,倾斜角为的射线的极坐标方程(2)在极坐标平面上,求圆心为A,半径为5的圆的方程【解】(1)设M(,)是所求射线上的任意一点,则射线OM就是集合.所以所求射线的极坐标方程是(0)(2)在圆上任取一点P(,),那么,在AOP中,OA8,AP5,AOP或.由余弦定理得5282228cos(),即216cos390为所求圆的极坐标方程.直角坐标方程与极坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y24x;(2)y2x22x10;
5、(3);(4)cos21;(5)2cos 24;(6).【自主解答】(1)将xcos ,ysin 代入y24x,得(sin )24cos ,化简得sin24cos .(2)将xcos ,ysin 代入y2x22x10得(sin )2(cos )22cos 10,化简得22cos 10.(3)tan .tan,化简得yx(x0)(4)cos21.1即cos 2.x2,化简得y24(x1)(5)2cos 24,2(cos2sin2)4,即2cos22sin24,x2y24.(6),2cos 1,2x1,化简得3x24y22x10.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)yx;(2)x2y21;(3
6、)cos 2;(4)2cos .【解】(1)将xcos ,ysin 代入yx得sin cos ,从而.(2)将xcos ,ysin 代入x2y21,得2cos22sin21,化简,得2.(3)cos 2,x2,是过点(2,0)且垂直于x轴的直线(4)2cos ,22cos ,x2y22x0,即 (x1)2y21.故曲线是圆心在(1,0),半径为1的圆.极坐标方程的应用已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0),求曲线C1与C2交点的极坐标【思路探究】联立两极坐标方程求解、即为交点的极坐标【自主解答】联立方程组得即4cos23,cos .又0,0,.将代入方程组,得2,
7、C1与C2交点的极坐标为(2,)解决极坐标系中曲线问题大致有两种思路:化方程为直角坐标方程再处理;根据、的几何意义,数形结合在以O为极点的极坐标系中,直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ,直线l与曲线C交于点A、B,求线段AB的长【解】直线l与曲线C的直角坐标方程分别是xy6和y28x.解方程组得或设A(2,4),B(18,12),所以AB16.(教材第32页习题4.2第5题)将下列极坐标方程化为直角坐标方程:(1)sin()3;(2)5sin();(3)2cos 216;(4).(2013泰州模拟)若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ,以极点为原点,极轴为x轴
8、正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为_【命题意图】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】2sin 4cos ,22sin 4cos ,x2y22y4x,即x2y22y4x0.【答案】x2y22y4x01在极坐标系中有如下三个结论:点P在曲线C上,则点P的极坐标满足C的极坐标方程;tan 1(R)和(R)表示同一条曲线;1和1表示同一条曲线其中正确的命题是_(填写相应的序号)【解析】在极坐标系中,曲线上的点的极坐标中必有满足曲线方程的坐标,但不一定所有坐标都满足极坐标方程,错误;tan 1(R)和 (R)均表示经过极点倾斜角为的直线,正确;1和1均表示以极点为圆心,1
9、为半径的圆,正确【答案】2在极坐标系中,过点P(3,)且垂直于极轴的直线方程为_【解析】设直线与极轴的交点为A,则OAOPcos ,又设直线上任意一点M(,),则OMcos OA,即cos .【答案】cos 3极坐标方程1表示_【解析】由1得21,即x2y21,故表示圆【答案】圆4在极坐标系中,圆2sin 的圆心的极坐标是_【解析】由2sin 得22sin ,化成直角坐标方程为x2y22y,化成标准方程为x2(y1)21,圆心坐标为(0,1),其对应的极坐标为(1,)【答案】(1,)1将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:(1)射线yx(x0);(2)圆x2y22ax0(a0)【解】(1)将
10、xcos ,ysin 代入yx,得sin cos ,tan ,或.又x0,cos 0,射线yx(x0)的极坐标方程为(0)(2)将xcos ,ysin 代入x2y22ax0,得2cos22sin22acos 0,即(2acos )0,2acos ,圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos .2分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程:(1);(2)2tan .【解】(1)由cos 5,得x5.(2)x2y2(x0),即x(x2y2)y0(x0)又在极坐标方程2tan 中,极点(0,0)也满足方程,即曲线过原点,所以直角坐标方程是x(x2y2)y0.3已知曲线C1的极坐标方程为6cos ,
11、曲线C2的极坐标方程为(R),曲线C1,C2相交于A,B两点(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)求弦AB的长度【解】(1)曲线C2:(R)表示直线yx;曲线C1:6cos 化为直角坐标方程,即x2y26x,即(x3)2y29.(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d,r3,所以弦长AB3.4求点A(2,)到直线l:sin()2的距离【解】A(2,)的直角坐标为(1,),l:sin()2,(sin cos )2.即: xy40.故A(1,)到l:xy40的距离为3.5在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系曲线C的极坐标方程为cos1,M、N分别为C
12、与x轴,y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程【解】(1)由cos()1得(cos sin )1,即xy2,当0时,2,所以M(2,0)当时,所以N(,)(2)M的直角坐标为(2,0),N的直角坐标为(0,)P的直角坐标为(1,)P的极坐标为(,)所以直线OP的极坐标方程为(R)6在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),P是圆x2y21上的一个动点,且AOP的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹方程【解】以圆心O为极点,x轴正方向为极轴,建立极坐标系,设Q(,),P(1,2)因为SOAQSOQPSOAP.即3sin 1sin 31s
13、in 2.整理得:cos .7(2013南京质检)在极坐标系中,圆C:10cos 和直线l:3cos 4sin 300相交于A、B两点,求线段AB的长【解】分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程:圆C:x2y210x,即(x5)2y225,圆心C(5,0);直线l:3x4y300,因为圆心C到直线l的距离d3,所以AB28.教师备选8在极坐标系中,P是曲线12sin 上的动点,Q是曲线12cos()上的动点,试求PQ的最大值【解】12sin ,212sin ,x2y212y0,即x2(y6)236.又12cos(),212(cos cossin sin),x2y26x6y0,(x3)2
14、(y3)236.PQ的最大值为6618.42.2常见曲线的极坐标方程第1课时直线和圆的极坐标方程课标解读1.会求极坐标系中直线和圆的极坐标方程2.进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法3.进一步体会极坐标的特点,感受极坐标方程的美.1直线的极坐标方程若直线l经过点M(0,0),且直线l的倾斜角为,则此直线的极坐标方程为sin()0sin(0)几种常见直线的极坐标方程:图4212圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(0,0),圆的半径为r,则圆的极坐标方程为220cos(0)r20.几种常见圆的极坐标方程图4221求直线和圆的极坐标方程的关键是什么?【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表
15、示成和之间的关系式这一过程需要用到解三角形的知识用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来2直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项?【提示】(1)由直角坐标求极坐标时,理论上不是惟一的,但一般约定只在规定范围内求值;(2)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用去乘方程的两端.求直线的极坐标方程求:(1)过A且平行于极轴的直线;(2)过A且和极轴成的直线【自主解答】(1)如图1所示,在所求直线上任意取点M(,),过M作MHOx于H,连OM.A,MH2sin,在RtOM
16、H中,MHOMsin ,即sin ,所以,过A平行于极轴的直线方程为sin . (2)如图2所示,在所求直线上任取一点M(,),A,OA3,AOB,由已知ABx,所以OAB,OAM.又OMAMBx,在MOA中,根据正弦定理得.sinsin.将sin展开,化简上面的方程,可得(cos sin ).所以,过A且和极轴成的直线方程为(cos sin ).设P(2,),直线l过P点且倾斜角为,求直线l的极坐标方程【解】如图所示,设M(,)(0)为直线l上除P点外的任意一点,极点为O,连接OM,OP,该直线交Ox于点A,则有OM,OP2,MOP|,OPM,所以OMcosMOPOP,即cos|2,即cos
17、()2,显然点P也在这条直线上故所求直线的极坐标方程为cos()2.求圆的极坐标方程(1)求以B(3,)为圆心,3为半径的圆(2)求以极点和点N所连线段为直径的圆的极坐标方程【自主解答】(1)圆心为B(3,),半径为3.所求圆的极坐标方程为6sin .(2)如图,设M(,)为圆上任一点,则有ONcosNOMOM,即2cos就是所求圆的极坐标方程求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程【解】如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是A,在圆上任取一点P(,),连接OP,PA,在RtOPA中,OA8,OP,AOP,OAcos ,即8cos ,即8cos
18、就是圆C的极坐标方程.极坐标的应用在极坐标系中,已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切,求实数a的值【思路探究】将圆2cos 与直线3cos 4sin a0化为普通方程后求解【自主解答】2cos ,22cos ,圆的普通方程为:x2y22x,(x1)2y21,直线3cos 4sin a0的普通方程为:3x4ya0,又圆与直线相切,所以1,解得:a2,或a8.理解极坐标的概念,能进行极坐标与直角坐标的互化,根据条件建立相应曲线的极坐标方程已知圆C1:2cos ,圆C2:22sin 20,试判断这两个圆的位置关系【解】法一圆C1是圆心C1(1,0),半径r11的圆化圆C2为极坐标系下圆
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