数学物理方程678章课后部分习题答案李明奇主编电子科技大学出版社.doc
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1、数学物理方程第三次作业习题6.21.求解。解:这是Laplace方程的Robin问题,直接调用公式,得习题6.41.试证Green函数在半径为R的球形区域V和界面S上,且满足:(1)(2)证明:(1)由格林函数定义:其中:。由于在边界S上有:,所以,由极值原理在整个上。所以下面证明:,一方面:以为圆心在中作球,球面设为。则。由极值原理:。另一方面,容易知道:对任意的, 在中的点,函数不能为零。所以,。得证:。证明:(2) ,其中是调和函数,所以。得证。习题6.51.求区域上的Green函数:(1)上半圆域;(2)上半球域。解:(1)镜像法。由于是上半圆域,所以参考圆域上的Green函数,可得,
2、需要四个电荷,分别为;,。所以将四个电荷的电势累加得: (2) 同样参考球形域上的格林函数求法。需要四个电荷,分别为;,。所以将四个电荷的电势累加得:3.在半平面内求解Laplace方程的边值问题,其边界条件为解:这是上半平面Laplace方程Dirichlet问题,直接调用公式,得:习题6.62.验证函数满足二维Poisson方程:。证明:满足方程。则:得证。习题7.12.求证。证明:因为 ,其中 则得证。3.求证,其中证明:,不难看出是一个奇函数,所以。得证。4.求证是的解。证明:由于满足方程 将带入方程中,再令,化简,得:所以得证。习题7.21.证明:(1) 证明:由于是偶函数,则。同时
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