江苏省2012年中考数学深度复习讲义教案中考真题模拟试题单元测试 二次函数11.doc
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1、(备战中考)江苏省2012年中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试) 二次函数知识讲解一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的三种表达形式分别为:一般式:y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a(xh)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:y=a(xx1)(xx
2、2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为(,)对于y=a(xh)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=,最值为,(k0时为最小值,k0)个单位得到函数y=ax2k,将y=ax2沿着x轴(右“”,左“”)平移h(h0)个单位得到y=a(xh)2在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减(右减左加)在画二次函数的
3、图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a,b,c的作用:a的正负决定了开口方向,当a0时,开口向上,在对称轴x=的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴x=的右侧,y随x的增大而增大,此时y有最小值为y=,顶点(,)为最低点;当a0时,开口向下,在对称轴x=的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴x=的右侧,y随x的增大而增大,此时y有最大值为y=,顶点(,)为最高点a的大小决定了开口的宽窄,a越大,开口越小,图像两边越靠近y轴,a越小,开口越大,图像两边越靠近x轴;a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,
4、对称轴x=0,即对称轴为y轴,当a,b同号时,对称轴x=0,即对称轴在y轴右侧,垂直于x轴正半轴;c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c0时,与y轴交于正半轴;c0时,与y轴交于负半轴,以上a,b,c的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出例题解析 例1 (2011湖南湘潭市,25,10分)(本题满分10分)如图,直线交轴于A点,交轴于B点,过A、B两点的抛物线交轴于另一点C(3,0). OCBA 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)设抛物线的解析式为
5、:y=ax2+bx+c。直线交轴于A点,交轴于B点,来源:Z+xx+k.ComA点坐标为(-1,0)、B点坐标为(0,3).又抛物线经过A、B、C三点,解得:,抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3(2)y=-x2+2x+3= ,该抛物线的对称轴为x=1设Q点坐标为(1,m),则,又.当AB=AQ时, ,解得:,Q点坐标为(1,)或(1,);当AB=BQ时,解得:,Q点坐标为(1,0)或(1,6);当AQ=BQ时,解得:,Q点坐标为(1,1)抛物线的对称轴上是存在着点Q(1,)、(1,)、(1,0)、(1,6)、(1,1),使ABQ是等腰三角形 例2(2011湖北荆州,22,9分)(本题满分9
6、分)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴是,B(4,2),一次函数的图象平分它的面积,关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.第22题图【答案】 解:过B作BEAD于E,连结OB、CE交于 点P, P为矩形OCBE的对称中心,则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.P为OB的中点,而B(4,2)P点坐标为(2,1)在RtODC与RtEAB中,OCBE,ABCDRtODCRtEAB(HL),SODCSEBA过点(0,-1)与P(2,1)的直线即可平分等腰梯形面积,这条直线为y=kx-12k-1=1,k=1又的图象与坐标轴只有两个交点,故当m0时,y-x+1,其图象
7、与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0)当m0时,函数的图象为抛物线,且与y轴总有一个交点(0,2m+1)若抛物线过原点时,2m+1=0,即m=,此时(3m+1)2-4m(2m+1)=0抛物线与x轴有两个交点且过原点,符合题意. 若抛物线不过原点,且与x轴只有一个交点,也合题意,此时(3m+1)2-4m(2m+1)=0解之得:m1=m2=-1综上所述,m的值为m=0或或-1. 例3 已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点 (1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点; (2)若A点坐标为(1,0),试求B点坐标; (3)在(2
8、)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小? 【解答】(1)对于关于x的二次函数y=x2mx+ 由于b24ac=(m)41=m220, 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点 故图像经过A,B两点的二次函数为y=x2mx (2)将A(1,0)代入y=x2mx 得1+m=0 整理,得m22m=0 解得m=0或m=2 当m=0时,y=x21令y=0,得x21=0 解这个方程,得x1=1,x2=1 此时,点B的坐标是B(1,0) 当m=2时,y=x22x3令y=0,得x22x3=0 解这个方程,得x1=1,x2=3 此时,点B的坐标是B(3,0) (3)当m=0
9、时,二次函数为y=x21,此函数的图像开口向上,对称轴为x=0,所以当x0时,函数值y随x的增大而减小 当m=2时,二次函数为y=x22x3=(x1)24,此函数的图像开口向上,对称轴为x=1,所以当x0时y值随x值增大而减小的是( )Ay = x2 By = x C y = xDy = 【答案】D3. (2011湖北鄂州,15,3分)已知函数,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为( )A0B1C2D34. (2011山东德州6,3分)已知函数(其中)的图象如下面右图所示,则函数的图象可能正确的是第6题图yx11O(A)yx1-1O(B)yx-1-1O(C)1-1xyO(D)【答案】D5
10、. (2011山东菏泽,8,3分)如图为抛物线的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是 Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 B b0 C c0 D abc0【答案】D11. (2011台湾台北,6)若下列有一图形为二次函数y2x28x6的图形,则此图为何? 【答案】A12. (2011台湾台北,32)如图(十四),将二次函数的图形画在坐标平面上,判断方程式的两根,下列叙述何者正确?A两根相异,且均为正根 B两根相异,且只有一个正根 C两根相同,且为正根 D两根相同,且为负根【答案】A13. (2011台湾全区,28)图(十二)为坐标平面上
11、二次函数的图形,且此图形通(1 , 1)、(2 ,1)两点下列关于此二次函数的叙述,何者正确?A y的最大值小于0 B当x0时,y的值大于1C当x1时,y的值大于1 D当x3时,y的值小于0【答案】14. (2011甘肃兰州,5,4分)抛物线的顶点坐标是A(1,0)B(1,0)C(2,1)D(2,1)【答案】A15. (2011甘肃兰州,9,4分)如图所示的二次函数的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1);(2)c1;(3)2ab0;(4)a+b+c0。你认为其中错误的有A2个B3个C4个D1个xy-11O1【答案】D16. (2011江苏宿迁,8,3分)已知二次函数yax2bxc(a
12、0)的图象如图,则下列结论中正确的是()Aa0 B当x1时,y随x的增大而增大Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根【答案】D17. (2011山东济宁,8,3分)已知二次函数中,其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示:x01234y41014点A(,)、B(,)在函数的图象上,则当时,与的大小关系正确的是A B C D 【答案】B18. (2011山东聊城,9,3分)下列四个函数图象中,当xl Cl Dl来源:Zxxk.Com【答案】C 21. (2011上海,4,4分)抛物线y(x2)23的顶点坐标是( )(A) (2,3); (B) (2,3); (C) (2,3); (D) (2,
13、3) 【答案】D22. (2011四川乐山5,3分)将抛物线向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是 A B C D【答案】A23. (2011四川凉山州,12,4分)二次函数的图像如图所示,反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是( )第12题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC【答案】B24. (2011安徽芜湖,10,4分)二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ). 【答案】D25. (2011江苏无锡,9,3分)下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x +
14、 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3【答案】C26. (2011江苏无锡,10,3分)如图,抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式 + x2 + 1 1 Bx 1 C0 x 1 D1 x 0,0 B. 0,0 C.0 D.0,0答案【B 】 32. (2011安徽芜湖,10,4分)二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( ).【答案】D33. (2010湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:ac0;a+b=0;4a
15、cb2=4a;a+b+c0.其中正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C34. (2011湖南湘潭市,8,3分)在同一坐标系中,一次函数与二次函数的图像可能是【答案】C35.二、填空题1. (2011浙江省舟山,15,4分)如图,已知二次函数的图象经过点(1,0),(1,2),当随的增大而增大时,的取值范围是 (第15题)(1,-2)-1【答案】2. (2011山东日照,17,4分)如图,是二次函数 yax2bxc(a0)的图象的一部分, 给出下列命题 :a+b+c=0;b2a;ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;a-2b+c0其中正确的命题是 (只要求填写正确
16、命题的序号)【答案】3. (2011 浙江杭州,23, 10)设函数 (k为实数)(1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,用描点法画出这两个特殊函数的图象;(2)根据所画图象,猜想出:对任意实数K,函数的图象都具有的特征,并给予证明;(3)对任意负实数k,当x0时,y随x的增大而减小.这个函数解析式为_(写出一个即可)【答案】如:等,写出一个即可. 10( 2011重庆江津, 18,4分)将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_.【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+2711. (2011江苏淮安,14,3分)
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