2.3函数的奇偶性.ppt
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1、2.3 函数的奇偶性 1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于 ; (2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x). 若 ,则f(x)为奇函数. 若f(-x)= ,则f(x)为偶函数. 若f(-x)= 且f(-x)= ,则f(x)既是奇函数 又是偶函数. 若f(-x)-f(x)且f(-x)f(x),则f(x)
2、既不是 奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. ,要点梳理,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),原点对称,f(-x)=-f(x),f(x),-f(x),f(x),3.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相 同”、“相反”). (2)在公共定义域内, 两个奇函数的和是 ,两个奇函数的积是偶函数; 两个偶函数的和、积是 ; 一个奇函数,一个偶函数的积是 . 1.(2008福建理,4)函数f(x)=x3+sinx+1 (xR), 若f(a)=2,则f(-a)的值为 . 解析 设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一
3、个奇函数. f(x)=g(x)+1.f(a)=g(a)+1=2,g(a)=1,g(-a)=-1,f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.,相同,相反,奇函数,偶函数,奇函数,基础自测,0,2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的 值为 . 解析 依题意f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0), 又f(x)是R上的奇函数, f(0)=0,f(6)=-f(0)=0. 3.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-,0)上单调递增,则f(a+1) f(b+2)(用“”,“”,“”,“”填空
4、). 解析 f(x)是偶函数,b=0.又f(x)在(-,0)递增, 0a1,a+1b+2,故f(a+1)f(b+2). 4.已知f(x)= 是奇函数,则实数a的值为 . 解析 f(x)的定义域为R且为奇函数,0,1,5.函数f(x),g(x)在区间-a,a (a0)上都是奇函数, 有下列结论:f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数; f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数;f(x)g(x)在 -a,a上是偶函数;f(0)+g(0)=0,则其中正确结论的 个数是 . 解析 f(x),g(x)都是定义域-a,a上的奇函数 f(-x)-g(-x)=-f(x)+g(x)=-f(x)-g(x), 正确.
5、 又任取x-a,a,则f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x) =-f(x)+g(x), 正确. 又f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x), 正确. 又f(x),g(x)在x=0处都有定义,且为奇函数, f(0)=0,g(0)=0,f(0)+g(0)=0,故正确.,4,判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= ; (2)f(x)=log2(x+ ) (xR); (3)f(x)=lg|x-2|. 【思维启迪】 先求函数的定义域,再判断f(-x)与f(x)的 关系. 解 (1)x2-10且1-x20, x=1,即f(x)的定义域是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0,
6、 f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.,题型一 函数奇偶性的判断,(2)方法一 易知f(x)的定义域为R, 又f(-x)=log2 =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数. 方法二 易知f(x)的定义域为R, 又f(-x)+f(x)=log2-x+ +log2(x+ )= log21=0,即f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. (3)由|x-2|0,得x2. f(x)的定义域x|x2关于原点不对称, 故f(x)为非奇非偶函数.,探究拓展 (1)确定函数的奇偶性,一般先考察函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则为
7、非奇非偶函数,若对称再看f(-x)与f(x)的关系. (2)判断函数奇偶性的常用方法有:利用定义;求和(差)判断;求商判断,即看 与1的关系,注意此时分母不为零才可以;图象法;性质法.,已知函数f(x),当x,yR时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数; (2)如果xR+,f(x)0,并且f(1)=- ,试求f(x)在区 间-2,6上的最值. 【思维启迪】 (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇偶性的 应用. (1)证明 函数定义域为R,其定义域关于原点对称. f(x+y)=f
8、(x)+f(y),令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.,题型二 函数的奇偶性与单调性,(2)解 方法一 设x,yR+,f(x+y)=f(x)+f(y), f(x+y)-f(x)=f(y). xR+,f(x)0, f(x+y)-f(x)0, f(x+y)f(x). x+yx,f(x)在(0,+)上是减函数. 又f(x)为奇函数,f(0)=0, f(x)在(-,+)上是减函数. f(-2)为最大值,f(6)为最小值. f(1)=- ,f(-2)=-f(2
9、)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3. 所求f(x)在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-3.,方法二 设x1x2,且x1,x2R. 则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0. 即f(x)在R上单调递减. f(-2)为最大值,f(6)为最小值. f(1)=- , f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1 f(6)=2f(3)=2f(1)+f(2)=-3. 所求f(x)在区间-2,6上的最大值为1,最小值为-3. 探究拓展 (1)满足f(a+b)=
10、f(a)+f(b)的函数,只要定义域是关于原点对称的,它就是奇函数. (2)运用函数的单调性是求最值(或值域)的常用方法之一,特别对于抽象函数,更值得关注.,(16分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)= -f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; (2)若f(x)为奇函数,且当0x1时,f(x)= x,求使f(x) =- 在0,2 009上的所有x的个数. 【思维启迪】 (1)只需证明f(x+T)=f(x),则f(x)即 是以T为周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求 一个周期中f(x)=- 的x的个数便可知在0,2 009上 的x的个数. (1)证明 f(x+2)=
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- 2.3 函数 奇偶性
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