1.2.3排列与组合.ppt
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1、,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法:,(1)分成1本、2本、3本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;,解:(1)这是“不均匀分组”问题,一共有 种方法,(2)在(1)的基础上再进行全排列,所以一共有 种方法,(一)分组(堆)与分配问题,分堆问题,分配问题,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:,(3)分成每组都是2本的三个组;,(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本.,点评:,本题是分组(堆)中的“平均分堆”问题,一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元素),共有,种方法,完全平均分堆,部分平均分堆该怎么处理?,(1)今有1
2、0件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,练习,例16本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本,解:(5)可以分为三类情况:,“2、2、2型” 的分配情况,有 种方法;,“1、2、3型” 的分配情况,有 种方法;,“1、1、4型”,有 种方法,,所以,一共有90+360+90540种方法,注意: 对于分配问题(排列组合的混合应用), 一般解法是先选后排。,练习: 10名学生均分成2组,每组选出正、副组长各1人,共有多少种不同的方法?,例
3、2(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共 有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种?两个空盒呢?,解:(1)根据分步计数原理:一共有 种方法;,(2)恰空一盒时:分堆方案是“1+1+2+0”型,故共 有,=144种放法。,恰空两盒时,方案是“1+3+0+0 ”或者“2+2+0+0 ”型,故共有,例 某车间有11名工人,期中有5名钳工,4名车工,另外2名既能当钳工又能当车工,现要在这11名工人中选派4名钳工,4名车工修理一台机床,有多少种选派方法?,(二)多面手问题,解:第一类:选派的4名钳工中无“多面手”,有选派方法 种;,第二类:选派的
4、4名钳工中有1名“多面手”,有选派方法 种;,第三类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,有选派方法 种;,由分类加法计数原理,不同的选派方法共有:,某小组共有10人,期中有5人会英语,7人会俄语,其中有2人既会外语又会俄语,现要在这10人中选派4人,其中2人做英语翻译,2人做俄语翻译,有多少种选派方法?,练习,(三)元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额,再分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?,解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插入隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法。 共有_种分法。,将n个相同
5、的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为,练习、 (1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少 一个,共有多少种不同的分配方法? (2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班,若名 额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?,分析:(1)这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型 ,用5个隔板插入10个指标中的9个空隙,即有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标,以此类推,因此共有 种分法.,(2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个,然
6、后,问题转化为7个优秀指标分给三个班,每班至少一个.由(1)可知共有 种分法,练习:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子,每盒至少1球的放法有多少种?,隔板法:待分元素相同,去处不同,每处至少一个。,变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子,每盒可空,不同的放法有多少种?,方程 的正整数解的组数是多少?自然数解的组数又是多少?,一般的,对于方程 ,正整数解得组数是 ; 自然数解的组数是 。,课后练习:,1. 某施工小组有男工7人,女工3人,选出3人中有女工1人,男工2人的不同选法有多少种?,3. 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛,每班至少选1人,这10个名额有多少种分配方法?,2. 由
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- 1.2 排列 组合
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