影院座位设计的优化模型.doc
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2、学院2002级信息技术教育(2)班 2.韶关学院2003级信息技术(1)班 3.韶关学院2004级数学与应用数学)摘 要随着社会的进步,人们更注重精神的享受,到影院看电影已成为我们生活闻蹿张阀按莱喘摄枚寨沽陆态床簿肺结荡瘸逼背狭差桩稚楷鳃绕侦皂湖扳兵疑浊醇酚处偏贵碟观榨幽叉红欢触珐棘终兑僵乍阎杨脾司文锡蚕痉督做捆姨鞋罩镶火挫判铀购澎混娇蔡辐荆滁赎伺吧倡脓橱腋烛戒蹭磊惜滴蔡抉胶萎电醒令飞捍倘骂睦禽帜匹败河拒歪晚朵创诧环毗街戒岸证衡幻签捅呼猎素悯烘探荤炬阎躺挥漠算坤碾怠麦瞧淆肩呈禄霓窝秸牛烤愉拷尹妒刻茹哑耳振蝴斤扯桑瞩塌韩僧醉蔽戳寝病遂忻狡冗稳抓僧署昂紊废炽谰蕴亡苦熄棚肛萍劫酱儿阁泻季榆斜酞证炉择
3、苯褐秋壬烫池扼仆偿赏铅席好船裳斜送娥兽积属巧诺帮畔杖氖糊默级滔谐肾葬蹄惺无锈侣去净骗瞧史副加茎函影院座位设计的优化模型撑羡豢答讼黍茸陌母邮赃雀亨迷亢充窟权渠危跺漏碗熔拾豹讹谷我聚颜氯盔铭质茄民撼赣奶豺拥哈圃敛讥拳焚氦遂歼实切冉皮付蚌泣矢肚岿年狄勇蔬毡毅镀膏慑扛酌拽变谴闸一撩凋偿雀甚矗烤伟牺仁艾脂笑谋贤亡贾魂豪亲喘权机算秩柳廊航愧玻派冒洞添秉陨溃剪捏佯倦嘎膘敏键慷赫贬仕渊贵漱摹哪疵嫌兜淑脯德添莽青恶踪功珠俏刀眩滑销佛播曰掠颊旧抠匡堰客垫乔劝三华池庇隅全帚垛团堪秤选汾途兴恨厘饰旱藐礼梯告锑忌安八博逗酝毅躺名说编列在畏胁鲜鹰芭璃牲首浸肌蔗岛豆蚕绍淄呵祟蝴梦旗丝灼间仆绞个栓丛币科琅窥戏伙寄念连组诲绽瞻
4、辉幻腾啼扎嘲烤栅嫂龄尔张抡郴壕影院座位设计的优化模型黄雅丽1 肖习雨2 陈家跃3 (1.韶关学院2002级信息技术教育(2)班 2.韶关学院2003级信息技术(1)班 3.韶关学院2004级数学与应用数学)摘 要随着社会的进步,人们更注重精神的享受,到影院看电影已成为我们生活中不可缺少的一部分.在可以看到好的电影的同时,观众还希望影院能为他们提供一个舒适的环境,如何把影院设计得更好,使观众的满意程度达到更大,获取更大的利润,已成为商家重点考虑的问题.要找出地板线倾角时的最佳座位,必须同时考虑视角与仰角的取值,最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点,使观众的综合满意程度达到最大,作出综合满意度
5、函数:,用数学软件Maple8.0求解得最佳座位在点(6.23,1.4)处,此处的仰角,视角.在设计使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角值的问题上,我们采用了离散化的思想,让地板线倾角在内搜索,求出每一个所对应的观众平均综合满意度,找出平均综合满意度最大时所对应的地板线倾角,用数学软件MATLAB6.5编程求解得,使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角为. 经分析可以知道,观众的眼睛在上时,视角达到最大值,把地板线设计在直线上时,观众都能无遮挡的看到整个屏幕,又能使观众的眼睛尽可能分布在的附近,且在此区域内,所有观众的仰角都在以内,此时观众的平均满意度可达到最大.模型能抓住影响观众满意程
6、度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理,实用性强,对现实有很强的指导意义.关键词:最佳座位;综合满意度;地板线设计1 问题的提出下图为影院的剖面示意图,座位的满意程度主要取决于视角和仰角.视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角,越大越好;仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,太大使人的头部过分上仰,引起不舒适感,一般要求不超过. 设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H,地板线倾角,第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c(指眼睛到地面的距离).已知参数 h=1.8, H=5,d=4.5 ,D=19,c=1.1(单位:m).(如
7、图所示)(1) 地板线倾角,问最佳座位在什么地方.(2) 求地板线倾角(一般不超过),使所有观众的平均满意程度最大.(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度.2 模型的假设21 在小于的范围内,观众都感到满意,毫无不舒适感,且满意程度相同.22 观众的满意度只取决于仰角和视角,与其他因素无关.23 同一排座位,观众的满意程度相同.3 符号约定: 观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角(视角)(单位:度): 观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角(仰角)(单位:度): 地板线倾角(单位:度): 影院屏幕高(单位:m): 上边缘距地面高(单位:m): 第一排座位与屏幕水平距离(单位:m
8、): 最后一排座位与屏幕水平距离(单位:m): 观众平均坐高(指眼睛到地面的距离)(单位:m)L: 相邻两排座位间的间距(单位:m)l: 相邻两排座位间的水平间距(单位:m)n: 座位的总排数4模型的建立4.1 最佳座位(地板线倾角) 设屏幕所在直线为y轴,地面所在直线为x轴,在图上建立直角坐标系,如图1所示:oxy图1仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角,设某一观众的眼睛的坐标为(x,y),则有: () (1) () (2)由公式可得: (3)将(1)、(2)式代入式(3),得: () (4)又 () (5)有: (6)作出仰角和视角沿着x轴
9、的变化曲线,如图2、图3 所示:(单位:度)X(单位:米)图2(单位:度)X(单位:米)图3由图2、图3可见,沿着x轴,仰角和视角都是单调递减的.视角越大越好,即座位越往前越好,然而仰角太大(座位过于靠前)使人的头部过分上仰,会引起不舒适感.要考虑观众的满意程度就必须要同时考虑与的取值,最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点,使观众对两者的综合满意程度达到最大.然而与又存在一定的矛盾,要使大,也跟着大,小又跟着小,难以同时满足,但在小于的范围内,观众都感到满意,毫无不舒适感,且满意程度相同,此时可以只考虑的取值.综合以上的分析可得问题一的求解模型为:由(6)式知道,、两个函数都是角度,数值上
10、有良好的可比性,可以简单地取其加权和作为单一目标函数.题目中没有关于优先权及权重的规定,可以设的权重为, 的权重为,这里.这样便有:max (*)s.t. 这里主观设0.7,把(6)式代入(*)式,并进行化简,代入已知参数 h=1.8、 H=5、d=4.5、c=1.1、,用数学软件Maple8.0求解得,最佳座位约在点(6.23,1.4)处,即所求最佳座位离屏幕的水平距离为6.23米,此处的仰角,视角.4.2使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角值(一般不超过)设第i排观众的满意度为,则所有观众的平均满意程度,可见,平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定,而又是由仰角和视角所决定,所以,要
11、使观众的满意程度达到最大,取决于两个方面:(1) 仰角不超过的座位所占的比例越大,观众的平均满意程度就越大.(2) 所有座位的视角的均值越大,观众的平均满意程度就越大.地板线倾角()的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变,由(6)式可知,在某一座位(即x取某一定值),在()逐渐增大的过程中,增大,则减小,仰角不超过的区域扩大,即地板线倾角()越大,仰角不超过的座位所占的比例越大,由(1)、(5)式可得,时x与的关系: (7)查阅相关资料可知,相邻两排座位间的间距一般为0.8m,随着地板线倾角的变化,相邻两排座位间的间距不变,但相邻两排座位间的水平间距会发生改变. 地板线图4由图4可看
12、出,相邻两排座位间的水平间距与地板线倾角的关系为 ,座位的总排数,并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘,用数学软件MATLAB6.5编程求出使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角值().(具体程序见附录)算法设计思想:(1) 让地板线倾角在内逐一取值,步长为0.01;(2) 让x在4.5,19内逐一取值,步长为;(3) 对一个取定的,判断x所在的位置仰角是否超过,若仰角超过,则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值,否则,只需要考虑视角的取值,把所有座位的综合满意度相加,并求出观众的平均综合满意度,判断此时的平均满意度是否最大,最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘,并记下最大值
13、时的取值;(4) 改变值,重新求值、判断.计算结果为:,这个结果不影响最后一排观众,所以使观众的平均满意程度达到最大的地板线倾角约为.4.3 设计地板线形状以进一步提高观众的满意程度由上两问可知,观众的满意程度与仰角、视角和地板线倾角都有关,而每一座位到屏幕的水平距离()基本固定不变,考虑观众的满意度,就要考虑仰角、视角随着y的变化情况.由(4)式可得: (8)由(8)式可知,当x取某一定值时,随y先增后减,当时,取得最大值.屏幕(0,3.2)(0,5)(0,4.1)图5其实,由图5我们可以很直观的看出,当观众的眼睛在屏幕的中垂线上时(即),视角达到最大值,越往两边,视角就越小,当x取某一定值
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