复变函数与积分变换第1章复数与复变函数.ppt
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1、第1章 复数与复变函数,在一些理论和实际问题中,有许多几何量与物理量,如果用复数作为变量去刻画,则在研究过程中比较方便,在18世纪,数学家J.DAlembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题. 在本章中,首先介绍复数的有关知识,然后再引入复平面点集、复变函数以及复变函数的极限与连续等概念.,1.1复数 1.1.1复数域 形如 的数称为复数,其中x和y是任意的实数,分别称为复数z的实部与虚部,记作x=Re z,y=lm z;而i(也可记为 )称为纯虚数单位. 当Im z=0时,z=Re z可视为实数;而当Re z=0,I
2、m z0时,z称为纯虚数;特别地,当Re z=Im z=0时,记z=0+i0=0. 两个复数z1,z2满足 时,称这两个复数相等,记为,对任意两个复数 其四则运算定义如下: 容易验证加法与乘法满足 交换律: 结合律: 分配律:,全体复数构成的集合在引进上述加法和乘法运算后称为复数域,用符号 表示.与实数域不同的是,复数域里的数没有大小之分,但可以证明在实数域内成立的一切代数恒等式在复数域内仍成立,例如:,1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定,而有序实数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应,因此可以用坐标为(x,y)的点P来表示
3、复数z=x+iy (图1.1),此时x轴上的点与实数对应,称x轴为实轴,y轴上的点(除原点外)与纯虚数对应,称y轴为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面,或按照表示复数的字母是z,w,而称为z平面、w平面,等等. 图1.1,如图1.1所示,复数z=x+iy还可以用向量 来表示,x与y分别是向量 在x轴与y轴上的投影.这样,复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后,为方便起见, “复数z”、“点z”及“向量 ”三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值,记作|z|,于是 显然z=0的充要条件是z=0.,当点P不是原点,即复数z0时,向量 与x轴正向的夹角称
4、为复数z的辐角,记作Arg z.辐角的符号规定为:由正实轴依反时针方向转到 为正,依顺时针方向转到 为负.显然一个非零复数z的辐角有无穷多个值,它们相差2的整数倍,但Arg z中只有一个值0满足条件-0,称0为复数z的主辐角,记为0=arg z(以后也把Arg z中任一确定的值记为arg z),于是 当z=0时,z的辐角没有意义.,由图1.1易知:复数z=x+iy(0)的主辐角arg z与反正切的主值 有以下关系:,由直角坐标与极坐标的关系可知(图1.1),非零有穷复数z可以用其模r=|z|与辐角来表示,即 利用欧拉公式 得,由式(1.3)及复数的运算容易证明 分别称式(1.2)和式(1.4)
5、为非零复数z的三角表示式和指数表示式,相应地称为式(1.1)复数z的代数表示式. 复数z的这三种表示式可以互相转化,以方便讨论不同问题时的需要.,例1.1将 化为三角表示式和指数表示式. 解 ,因为z在第I象限,所以 故z的三角表示式为 ; z的指数表示式为,例1.2试将 ,(-)化为三角表示式. 解由已知可得 故z的三角表示式为,利用复数z的代数表示式容易理解复数加法与减法运算的几何意义,设复数z1,z2对应的向量分别为 1, 由复数的运算法则知复数的加减法与向量的加减法一致,于是在平面上以 为邻边的平行四边形的对角线 就表示复数z1+z2(图1.2),对角线 就表示复数z1-z2. 图1.
6、2,由上述几何解释知下面两个不等式成立: 其中 表示向量 的长度,也就是复平面上点z1,z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便. 假设 ,则由式(1.5)可得 于是,由此可知: 两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积,两个复数乘积的辐角等于它们各自辐角的和; 两个复数商的模等于它们各自模的商,两个复数商的辐角等于分子辐角与分母辐角的差. 由式(1.6)即得复数乘法的几何意义,乘积 对应的向量是把z1对应的向量旋转一个角度 后再将其模伸缩|z2|倍而得到的(图1.3).特别地,当|z2|=1时,只需把z1对应的向量旋转一个角度 即得到 例如 就可由表示z的向量逆时针旋转
7、 而得到.,例1.3已知正三角形的两个顶点为 求其第三个顶点. 解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转 得另一个向量,其终点就是所求的第三个顶点z3(或z3),根据复数乘法的几何意义可得 图1.3 图1.4,所以 类似可得,1.1.3复数的乘幂与方根 n个相同非零有穷复数z的乘积称为复数z的n次幂,记作 若 ,则 特别地,当r=1时,即z=cos +i sin ,则得De Moivre公式 如果复数w和z满足 则称复数w为z的n次方根,记作 ,即,下面求 的表达式. 令 ,则由式(1.8),得 于是有 从而 故z的n次方根为,从式(1.9)可以看出,只有当k取0,1,2,,n-1时,所得w之值
8、是 不同的,而k取其他整数时所得w之值将与上述n个值之一重合.因 此,一个非零有穷复数z的n次方根仅有n个不同的值,在几何上表 现为以原点为中心、以 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.,例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地,1的立方根为 它们均匀地分布在以原点为中心,以1为半径的圆周上 (图1.5). 图1.5,例1.5设n为自然数,证明等式 证明令 ,则 故由De Moivre公式得,1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy,称复数x-iy为z的共轭复数,记为 显然z和 是关于实轴对称的(图1.6). 由定义,容易验证下列关系成立: 图1.6,例1.6设 ,试求Re z,lm
9、z和 解因为 所以,例1.7求证:若|a|=1,则 证由 得,例1.8设复数 满足条件 求证 是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点. 证由条件,可知 位于|z|=1上;又由条件,可知 则 即 再结合条件得 故,即|z2-z3|=3,同理可得|z1-z3|=3,|z1-z2|=3,因此,z1,z2,z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的3个顶点. 下面举例简单说明复数的应用,具体讨论两个问题:如何用含复数的方程来表示平面曲线;怎样从复数形式的方程来确定该方程所表示的平面曲线. 若平面曲线的实方程为 ,则的复 方程可表示z=z(t)=x(t)+y(t)i(t).,例1.9(1)因连接
10、 与 两点的实方程为 故该线段的复数方程为 同理过z1与z2两点的直线的复数方程为 于是有 三点z1,z2,z3 共线的充分必要条件为 .,(2)因z平面上以点 为心、r为半径的圆周的实方程为 故该圆的复数方程为 若平面曲线的实方程为F(x,y)=0,则的复方程可用f(z)=0表示.,例1.10(1)z平面上以点z0为心、r为半径的圆周的复方程为|z-z0|=r. (2)平面直角坐标下直线ax+by=c 方程的复数方程为 事实上,设z=x+iy,则由共轭复数的定义得,将它们代入所给的直线方程ax+bx=c,有 化简得 记=a+ib,=2c,便得结论. (3)方程|z-i|=|z+2i|表示到点
11、i和-2i的距离相等的点z的轨迹, 即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线. (4) 方程 表示一个圆周.,1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S.过O作与复平面相垂直的直线,该直线与球面S交于另一点N,O和N分别称为球面的南极和北极(图1.7). 图1.7,在复平面上任取一点z,则连接z和N的直线必交于球面上唯一的异于N的点P;反之,若P为球面上任意一个异于N的点,则连接NP的直线必交复平面上唯一的一点z.这样就建立起球面上除去北极N外的点P与复平面上点z之间的一一对应关系,我们称P为z在球面上的球极射影,如果z的模愈大,则它的球极射影就愈靠近北极N,因此,北极N
12、可以看作复平面上一个模为无穷大的理想点的对应点,这个理想点称为无穷远点,并记为,复平面上加上点后就称为扩充复平面,通常记为 ,即 与之对应的是整个球面,称为复球面,换言之,扩充复平面的一个几何模型就是复球面.,最后需要指出的是,扩充复平面 上只有一个无穷远点,它是一个确定的复数,对来说,其实部、虚部与辐角均无意义,仅规定其模|=+.关于我们规定其运算如下: a为有限复数,则 ,0, 均无意义. 在本书中,今后若无特别声明,所涉及的复数都是指有穷复数.,1.2复平面点集 1.2.1平面点集 定义1.1设z0 ,为正数,称集合z|z-z0|为点z0的邻域,记为N(z0),称集合z|0|z-z0|为
13、点z0的去心邻域,记为N(z0) z0. 定义1.2设 为一点集,且z0E,若 N(z0),使得N(z0) E,则称点z0为E的内点.若E的点皆为内点,则称E为开集. 定义1.3设 为一点集,且z0E,若 0,在N(z0)内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称点z0为E的边界点;E的边界点的全体组成的集合称为E的边界,通常记为E.,定义1.4设 为一点集, 如果对 ,点集 是无穷点集,则称z0为E的聚点或极限点,E的聚点全体通常记为E;若 ,但 则称z0为E的孤立点;若 ,使得 ,则称z0为E的外点. 定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心,以某一个正数R为半径的圆域内部,则称E为有界集
14、,否则称E为无界集. 对于无穷远点,有: 定义1.6在 上以原点为心,以某一个正数R为半径的圆外部,称为无穷远点的一个邻域,记为NR()=z|z|R. 由此,在扩充复平面 上,聚点、内点及边界点等概念均可推广到无穷远点.,1.2.2区域 定义1.7复平面 上具备下列性质的非空点集D称为区域: D是开集,即D完全由内点组成; D是连通的,即D中任何两点都可以用一条整个属于D的折线连接起来. 由区域的定义,区域不包括边界点,因而一般称区域为开区域.区域D及边界C所构成的点集称为闭区域,记作 若区域D可以包含在某个以原点为中心、以某一正数R为半径的圆内.则称D为有界区域,否则为无界区域.,实际中,常
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- 函数 积分 变换 复数
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