高斯公式和斯托克斯公式ppt课件.ppt
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1、,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高斯公式 通量与散度,第十一章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,证明: 设,为XY型区域 ,则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积
2、分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用
3、重心公式, 注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式,例4. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.(见 P171),机动 目录 上页 下页 返回 结束,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1. 连通区域的类型,设有空间区域 G ,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维单连通域 ;,
4、若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域 .,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域 .,既是一维也是二维单连通区域 ;,是二维但不是一维单连通区域 ;,是一维但,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证: “充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性”. 用反证法.,已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 ,则存在邻域,则由高斯
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