高等数学07.ppt
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1、*四、 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,例7. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,(mm2),费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马,证毕,罗尔( Rolle )定理,
2、满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定,成立.,例如,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在a, b 上连续,在(a, b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,拉氏,证毕,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推论: 若函数,在区间 I 上满足,则,在 I
3、 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,令,则,例. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,例. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,问题转化为证,柯西,构造辅助函数,例. 设,至少存在一点,使,证: 问题转化为证,设,则,在 0, 1 上满足柯西
4、中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),推论1.,定理 1 中,换为下列过程之一:,推论 2. 若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,洛,洛,例2. 求,解: 原式,洛,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: n 为正整数的情形.,原式,洛,
5、3) 若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则 !,即,注:,(1)罗必塔法则只适用于 和 型;,(2) 存在,且 ;,(3)是对分子分母分别求导,而不是对整个分式求导;,(4)当 不存在时,不能用罗必塔法则。,课堂练习:求极限,(1),(2),(3),三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例. 求,解: 原式,洛,解: 原式,例. 求,通分,取倒数,取对数,洛,例. 求,解:,例5,通分,取倒数,取对数,例. 求,解: 注意到,原式,洛,极限求法,1. 利用极限的运算法则和函数的连续性;,2. 利用恒等变形后计算;,6. 利用罗必塔法则。,5. 利用等价无穷小;,3. 利用两个重
6、要极限;,4. 利用无穷小的性质;,麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 ),泰勒 ( Taylor,B. 1685-1731, 英国 ),一、泰勒公式,问题的提出,根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时), 略掉o(x-x0), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计.,下页,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n
7、 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒(Taylor)中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,
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