高等数学上第五讲.ppt
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1、高等数学(上) 第五讲,第一章,第二节,数列的极限(2),定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一.,证:,假设xn 收敛, 但极限不唯一,不妨设ba, 取,即 xna, (n),二、 收敛数列性质,且 xn b,ab.,由极限定义, 1, 当nN1时, N2, 当 n N2 时,取N=maxN1, N2, 则当nN时, 上两式同时成立.,从而当 nN时, 有,矛盾, 故极限唯一.,数列的有界性,对于数列xn,,如果存在着正数M,,都满足不等式,使得对一切 xn,|xn|M,则称数列xn是有界的,如果这样的正数M不存在,,就说数列xn是无界的,例如,有界,无界,定义:,(7),上.,证,由定义,注
2、意:有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,定理2 如果数列 收敛,那么数列 一定有界,收敛数列的有界性,|xn|(xn a)a|,(8),| xna|a|, 1|a|,设 xna (n), a0., 由极限定义,,自然数N, 当nN时, 有,证:,取,故当 nN 时,类似可证a0 的情形.,证: 假设a0.,由定理3, N1, 当n N1时, 有xn 0.,取N2=max(N1, N), 则当n N2(N)时,有xn 0, 此与条件矛盾.,比如,注: 在推论中, 即使 xn 0, 也只能推出 a 0,例如,,*,*,定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,三. 收敛准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例5,证,(舍去),证明数列,极限存在 . (P22P23),证: 利用二项式公式 , 有,例6. 设,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,n! n2,四、小结,数列: 研究其变化规律;,数列极限: 极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,作业:P56 习题一 17(1)(3),18(1)19(2)(3)21(1),收敛准则,
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