高等数学北大第二版33有理式的不定积分与有理化方法.ppt
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1、1. 有理式的不定积分,3-3 有理式的不定积分与有理化方法,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,若干部分分式之和,其中部分分式的形式为,部分分式:,有理函数积分法,如果 有一个 重实根 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:,如果 中包含因子 时 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:,例如 将真分式 分解成部分分式.,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,例1 求,解,第一种方法: 待定系数法,,可以用如
2、下的方法求出待定系数.,上式通分后得,比较恒等式两端同次幂的系数,得一方程组:,从而解得,故有,于是,化简并约去两端的公因子 后为,得,例 2 求,两端去分母,得,或,比较两端的各同次幂的系数及常数项,有,解之得,解,补例,解,例 3 求,解,即有,即,或,总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分 都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说 ,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的 乘积,从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和.因此, 有理函数的原函数都是初等函数.,但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁 ,只是在没有
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