高等数学北大第二版69极值问题.ppt
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1、6-9 极值问题,1. 多元函数极值问题,则称函数在点 处有极大(小)值;-极值,称点 为极大(小)值点; -极值点,定义 设函数 在区域 内有定义, 是 的内点,若存在 的一个邻域,使得对该邻域内任一点 ,都有,二元函数的极值图例,有极小值,有极大值,定理1 (极值的必要条件),证,特别地有,上式表明一元函数 在 取得极大值,,由一元函数,取得极值的必要条件,有,同理可证,各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一 定是极值点.,满足方程组 的点为 的稳定点.,定理(极值存在的充分条件),令,根据代数知识,,为简便起见,令,则,证,根据泰勒公式有,根据二阶偏导数连续的假定,,因此,一定不
2、是极值,可能是,也可能不是极值,例3,求函数,解 第一步 求稳定点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,补例.讨论函数,及,是否取得极值.,解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,2. 多元函数的最值问题,若函数在闭区域 D 上连续
3、时,它在D上有最大(小)值,最值一定是在极值点或边界上取得.,在实际应用中,若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值,而函数在 D 内又只有唯一的稳定点,则可判定函数在该稳定点即取得最值.,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf (x) .,需要解决两个问题:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,最小二乘法,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f (x) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最
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