高考数学平面向量的数量积突破复习.ppt
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1、平面向量的数量积,走进高考第一关 基础关,教 材 回 归 1. 向量的夹角 (1)已知两个_向量a和b,作 =a, =b,则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)向量夹角的范围是_,a与b同向时,夹角=_;a与b反向时,夹角=_. (3)如果向量a与b的夹角是_,我们说a与b垂直,记作_.,非零,0,0,90,ab,2. 向量的投影 _(_)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)投影. 3. 平面向量数量积的定义 ab=_(是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为_.,|a|cos,|b|cos,|a|b|cos,0,4. 向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的
2、单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=_=_. (2)ab=_. (3)当a与b同向时,ab=_; 特别地,aa=_或|a|=_.,a e,|a|cos,a b=0,|a|b|,|a|2,(4)cos=_. (5)|ab|_|a|b|. 5. 向量数量积的运算律 (1)ab=_.(交换律) (2)(a)b=_=_.(数乘结合律) (3)(a+b)c=_.(分配律) 6. 平面向量数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cos= .,b a,(a b),a (b),a c+b c,(3)
3、若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=_,这就是平面内两点间的距离公式. (4)设a=(x1,y1),b=(x2,yy2),则ab_.,a b=0,x1x2+y1y2=0,考 点 陪 练 1. 设abc是任意向量,mR,则下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (a+b)c=ac+bc C. m(a+b)=ma+mb D. (ab) c=a(b+c),答案:D,2. P是ABC所在平面上一点,若 = = ,则P是ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心,答案:D,3. 已知a 5b均为单位向量,它们的
4、夹角为60,那么|a+3b|等于( ),答案:C,4. 非零向量 =a, =b,若点B关于 所在直线的对称点为B1,则向量 为( ),答案:A,5. (2010福建福州质检)(基础题,易)直角坐标系xOy中, =(2,1), =(3,k),若三角形ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,答案:B,解析: - = =(-1,1-k), (1) =0k=-6, (2) =0k=-1, (3) =0k2-k+3=0, 由0得无解.,解读高考第二关 热点关,类型一:数量积的性质及运算,解题准备:1. |a|b|cos叫做向量a和b的数量积(或内积),记作
5、ab,即ab=|a|b|cos. 2. 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=a1b1+a2b2. 3. 向量的数量积是历年高考命题的热点,涉及到本知识点时,主要考查平面向量数量积的运算、化简、证明问题.,(1)设abc是任意的非零向量,且互不共线. 给出以下命题:(ab)c-(c a)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(c a)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是_.,类型二:利用数量积解决长度垂直问题,解题准备:常用的公式与结论有:|a|2=a2=a a或|a|= = ; |ab|= = ; 若a=(x,y),则|a|=
6、 .其中两个公式应用广泛,需重点把握.abab=0(a,b均为非零向量);设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,解析对于只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以错;考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知正确;由c)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b与c垂直,故错;向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确.所以正确命题的序号是.,分析利用|a|= 及abab=0即可解决问题.,典例2已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?,解由已知,a
7、b=48(- )=-16. (1)|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|=4 . |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162. |4a-2b|=16 . (2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ka2+(2k-1)ab-2b2=0. 16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.,评析(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: |a|2=a2=aa; |ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y),则|a|= . (2)非零向量abab=0是
8、非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,类型三:利用数量积解决夹角问题,解题准备: 1. 涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点. 2. cos= ;设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 cos= . 3. 在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.,典例3已知ab都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角. 分析由公式cos= 可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的
9、充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.,评析(1)求两个向量的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是00,1800.正确理解公式是关键. (2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错,误区:向量的模与数量积的关系不清致误,典例已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-kb|= |ka+b|,其中k0. (1)试用k表示ab,并求出ab的最大值及此时a与b的夹角的值; (2)当ab取得最大值时,求实数,使|a+b|的
10、值最小,并对这一结果作出几何解释.,剖析本题可以通过对已知条件两端平方解决,容易出现的问题是对向量模与数量的关系不清导致错误,如认为|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a|b|+k2|b|2等都会得出错误的结果.第二个易错之处就是在得到ab=- 后,忽视了k0的限制条件,求错最值.,评析向量的模与数量积.向量的模与数量积之间有关系式|a|2=a2=aa,这是一个简单而重要但又容易用错的地方,由这个关系还可以得到如|ab|2=|a|22ab+|b|2,|a+b+c|=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2bc+2ca等公式,是用向量的数量积解决向量模的重要关系式.在
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