概率一章蓝底.ppt
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1、概率论与数理统计,主讲:肖碧海,第一章,概率论的基本概念,第一章主要内容,第一节 样本空间、随机事件,第二节 概率、古典概型,第三节 条件概率、全概率公式,第四节 独立性,现实世界的两类现象:,1、确定性现象,在一定条件下一定会发生的现象.,如:同性电荷相排斥, 异性电荷相吸引; 在标准大气压下, 水温达到100摄氏度必然沸腾, 温度为0摄氏度下必然结冰.,2、随机性现象,在一定条件下, 试验有多种可能的结果,但事先不能预测是哪一种结果.,在个别试验中其结果出现不确定性;在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象,称之为随机现象。,如:从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏,到复杂的社会现
2、象;从婴儿的诞生,到世间万物的繁衍生息;从流星坠落,到大自然的千变万化,我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。,随机现象有其偶然性一面,也有其必然性一面,这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性.,随机现象常常表现出这样或那样的统计规律,这正是概率论所研究的对象.,则把这一试验称为随机试验,常用E表示。,对随机现象进行的观察或实验称为试验。,(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事 先可以知道试验的所有可能结果。,(3)进行一次试验之前,不能确定会出现 哪一个结果。,若一个试验具有下列三个特
3、点:,(1)在相同条件下可重复进行。,第一节 随机事件、样本空间,1、随机试验,E1 : 抛一枚硬币,观察正面H和反面T出现的情况.,例如:,E2 : 掷两颗骰子, 出现的点数.,E3 : 在一批电视机中任意取一台,测试它的寿命.,2、随机事件与样本空间,样本空间:随机试验 E 的所有基本结果组成的集合。记为。,样本空间的元素,即 E 的每一个基本结果,称为样 本点。,例1 :写出下列随机试验的样本空间。,1)将一枚硬币抛掷二次,观察正 H,反T 出现的情况。,2)将一枚硬币抛掷二次,观察出现正面的次数。,3)在一批电视中任抽取一次,测试它的寿命。,注:,样本空间是一个有限或无限的点集。,样本
4、空间的元素是由试验的目的所确定。,随机事件(简称事件): 随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。通常用大写字母A,B,表示。,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。,基本事件(或称为样本点): 随机试验中的每一个基本结果也构成一个随机事件。,随机事件中有两个极端情况: 每次试验中都必然发生的事件,称为必然事件 。 每次试验中都不发生的事件,称为不可能事件 。,由样本点组成的单点集。,例2 : 从一批产品中任取8件,观察其中的正品件数, 则这一试验的样本空间为:, =0,1,2,3,4,5,6,7,8,引入下列随机事件:,B=取到2件至3件正品=,C=取到2件至5件正品=
5、,D=取到的正品数不少于2且不多于5=,E=取到的正品数至少为4=,F=取到的正品数多于4=,0,1,2,3,2,3,2,3,4,5,2,3,4,5,4,5,6,7,8,5,6,7,8,A=正品件数不超过3=,表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生。,3、事件间的关系及其运算,表示事件A与事件B中至少有一个事件 发生,称此事件为事件A与事件B的和(并)事件。,A = A A,事件A1,A2,An 的和记为 ,或A1 A2 An,表示“A1,A2,An 中至少有一个事件发生”这一事件。,表示事件A与事件B同时发生, 称为事件 A与事件B的积(交)事件,或记为A
6、B。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。,可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为A1 A2 An 或A1A2 An ,也可简记为 。,在可列无穷的场合,用 表示事件“A1、A2 诸事件同时发生。”,A = A A ,事件A发生但事件B不发生,称为 事件A与事件B的差事件。,则称A和B是互不相容的或互斥的, 指事件A与B不可能同时发生。,基本事件是两两互不相容的。,A-A= A- =A A- = ,则称A和B互为对立事件,或称A 与B互为逆事件。 事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。,将以上几种关系用图形(文氏图)来表示:,注意:,1)不相容 与对立的区别。,2
7、)弄清每一种关系所代表的概率含义。,A,B,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,对于任意两事件A,B总有如下分解:,例3 : 将下列事件用A、B、C表示出来。,1)只有C发生。,2)A发生而B与C不发生。,3)三个事件都不发生。,4)三个事件至少有一个不发生。,5)三个事件至少有二个不发生。,7)三个事件多于两个发生。,8)三个事件不少于一个发生。,6)三个事件恰好有二个不发生。,注意:,2)有些运算可借助与文氏图来帮助理解,1)和与积两种关系的关键字:交(同时,都),并(至少),事件的运算律,(1)交换律:AB=AB,AB=BA,(2)结合律(AB)C=A(BC),(3)分配律:A (B
8、C)= (AB)( A C ),(AB)C=A(BC),A(B C)=(AB)(AC),(4)德摩根律(De Morgan):,(5),注:4),5)的证明可借助于文氏图来帮助理解。,例4:设事件A表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,求其对立事件 。,解 设B=“甲种产品畅销”,C=“乙种产品滞销”,,则 A=BC,=“甲种产品滞销”或“乙种产品畅销”,练习: 设A,B,C为三个事件,试用A,B,C表示下列事件: (1)A发生且B与C至少有一个发生; (2)A与B都发生而C不发生; (3)A,B,C恰有一个发生; (4)A,B,C中不多于一个发生; (5)A,B,C不都发生; (6)A,B,C
9、中至少有两个发生。,第二节 概率、古典概率,1、频率,定义1: 在相同条件下,进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次,则比值 称为事件A的频率,记为,频率具有下列性质:,(1)对于任一事件A,有,(2),历史上著名的统计学家德摩根,蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Pearson)曾进行过大量抛硬币的试验,其结果如表所示.,可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.,定义2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加,波动的幅度越来越小,则称这一数值p为事件A发生的概率,记为,定义3
10、:,2、概率的公理化定义,概率的性质:,注:不可能事件的概率为0,但逆命题不一定成立。,性质6可推广到三个事件的情形。例如设A1,A2,A3为任意三个事件,则有,n个事件和的概率为,设Ai =第i封信装入第i个信封 i =1,2,3 A=没有一封信装对地址,某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中,问没有一封信装对地址的概率是多少?,直接计算P(A)不易,我们先来计算,例3 (配对问题),代入计算 的公式中,于是,3、古典概型,定义4: 设随机试验 E 满足如下条件: 试验的样本空间只有有限个样本点,即 (2) 每个样本点的发生是等可能的,即 则称此试验为古典概型,也称为等可能概型。,计
11、算公式:,因为1,2,n是两两互不相容的,故有,1=P()=P(1 n ),=P(1)+ +P(n),又因为每个基本事件发生的可能性相同,即,1= n P(i),设事件A包含k个基本事件, 即 A = i1,i2,ik,则有 P(A)= P( i1 i2 ik ),=P(i1)P(i2) P(ik),=P(i1)P(i2) P(ik),故得事件A的概率计算公式为,例3 袋中有 a 只黑球,b 只白球,现把球一个个摸出(不放回),求第k次摸出的球是黑球的概率。(1 k ab),10 同色球有区别。,解 设 A=第k次摸出的球是黑球,将ab个球编号区别,摸出的球依次排列在ab个位置,有 种。,(a
12、b)!,将第k个位置放黑球,可从a中任取,其余位置各放一球有 种。,(ab1)!,20 同色球无区别。,例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄,求 1)第3个邮筒恰好投入1封信的概率; 2)有两个邮筒各有一封信的概率。,解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信”,两封信任意投入4个邮筒,共有 种,而事件A的不同投法有,42,2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”,例5 10把钥匙有3把能打开门,今任取2把,求能将 门打开的概率。,解,法一:,设A表示“能将门打开”,因为“取出的两把钥匙能打开门”是“恰有一把钥匙能打开”与“两把钥匙都能打开门”这两个互不相容事件的和事件。,
13、所以A所包含的样本点数为,所以所包含的样本点数为,法二:,例(5) 有r 个人,设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的,试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A), 先求P( ),例6 设有n个球每个球都以同样的概率 落到N个格子(N n)的每个格子中,试求 1)某指定的n个格子中各有一球的概率。 2)任何n个格子中各有1球的概率。,解 设 A =某指定的n个格子中各有一球,B =任何n个格子中各有一球,例7:从0,1,2, ,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率,例8: (一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出
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