概率论.ppt
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1、随机变量的分布函数,如果将 X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的,概率.,设 X 是一个 随机变量,是任意实数,称,为 X 的分布函数 ,记作 F (x) .,(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量.,(2) F(x) 是随机变量 X取值不大于 x 的概率,即分 布函数F(x)描述的是事件“Xx”的概率,它是定义 于全体实数,以区间0,1为值域的普通函数.,(3) 对任意实数 x1x2,随机点落在区间( x1 , x2 内 的概率为:,P x1X x2,因此,只要知道了随机变量X的分布函数, 它的统计特性就可以得到全面的描述.,=P
2、 X x2 - P X x1 ,= F(x2)-F(x1),请注意 :,分布函数是一个普通的函数, 正是通过它,我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率 问题.,设离散型 随机变量X 的分布律是,P X=xk = pk , k =1,2,3,F(x) = P(X x) =,即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和.,一般地,则其分布函数,注意:离散性随机变量的图形均为阶梯状,它在X的每个可能取值xi处发生一次“跳跃”,其跳跃高度恰为P X=xk = pk ,称之为“跃度”.,分布函数(x)的性质,(1) 0F(x) 1,(2),如果一个函数具有上述性质,则一定是某个随机变量X 的
3、分布函数. 也就是说,性质(1)-()是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.,(4) F(x) 右连续,即,(3),连续型随机变量及其概率密度函数,解 设 F(x) 为 X 的分布函数,,当 x 0 时,F(x) = P(X x) = 0,0,a,当 x a 时,F(x) =1,例 在区间 0,a 上任意投掷一个质点,以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 0, a中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,试求 X 的分布函数.,F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x),故,这就是在区间 0,a上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.,当
4、 0 x a 时, P(0 X x) = kx (k为常数 ),连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数,简称为概率密度 .,一、 连续型随机变量及其概率密度的定义,有,使得对任意实数 ,对于随机变量 X 的分布函数F(x), 如果存在非负可积函数 f (x) ,连续型随机变量的分布函数在 上连续,二、概率密度的性质,1 o,2 o,利
5、用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率,对于任意实数 x1 , x2 , (x1 x2 ) ,若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有,积分的几何意义:概率值,为曲线y=f(x)与x轴及直线x=x1和x=x2所围的平面图形的面积,f (x),x1,x2,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值,恰好是X 落 在区间 上的概率与区间长度 之比的极 限. 这里,如果把概率理解为质量, f (x) 相当于线密度。,若 x 是 f(x) 的连续点,则,对 f(x)的进一步理解:,若不计高阶无穷小,有,表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .,要注意的是,密度函数 f (x)在某点处a的
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