电磁场中的基本方程.ppt
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1、第二章 电磁场基本方程,2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边界条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 唯一性定理,2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量,2 .1 .1 库仑定律和电场强度,图 2-1 两点电荷间的作用力,式中, K是比例常数, r是两点电荷间的距离, 是从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。 比例常数K的数值与力 , 电荷及距离所用的单位有关。 本书全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位是米(m) , 千克(kg)
2、 , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为,式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), 0是真空的介电常数:,设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为,由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为,(2-4),2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度 除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:,是媒质的介电常数, 在真空中=0。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知,电通量为,此通量仅取决于点
3、电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 根据立体角概念不难证明, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量,这就是高斯定理的积分形式(1839年由德国K .F .Gauss导出), 即穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。 对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。,若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的, 则所包围的总电量为,上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有,2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度,图
4、 2-2 两个载流回路间的作用力,式中, r是电流元Idl至Idl的距离, 是由dl指向dl的单位矢量, 0是真空的磁导率:,矢量B可看作是电流回路l作用于单位电流元(Idl=1 Am)的磁场力, 它是表征电流回路l在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是,毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁针实验提出。,磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为,或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=vAdlv=Qv, 其中A为细导线截面积, 得,对于点电荷q, 上式变成,通常将上式作为B的定义公式。点
5、电荷q在静电场中所受的电场力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为,例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点的磁通量密度。,图 2-3 载流直导线,解 采用柱坐标, 电流Idz到P点的距离矢量是,对无限长直导线, l, 有,2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度 对于无限长的载流直导线, 若以为半径绕其一周积分B, 可得,在简单媒质中, H由下式定义:,H称为磁场强度, 是媒质的磁导率。在真空中=0, 于是有,这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该
6、路径所包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。,因为S面是任意取的, 所以必有,2 .1 .5 两个补充的基本方程,在物理学中我们已知, 在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:,利用斯托克斯定理可将左端化为E的面积分, 从而得,这是静电场的另一基本方程, 说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质相似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。 从而可引入电位函数:,静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特
7、性则正好相反。因为在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即,将左端化为B的体积分知,2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律,2 .2 .1 法拉第电磁感应定律,静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间变化率。 楞次
8、(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为,式(2-26)可写成,(2-26),右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势.,应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时, 如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于B随时间变化所引起的项。 因而得,因为S是任意的, 从而有,这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是, 随时间变化的磁场将激发电场。这导致极重要的应
9、用。我们称该电场为感应电场, 以区别于由电荷产生的库仑电场。库仑电场是无旋场即保守场; 而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。,2 .2 .2 位移电流和全电流定律,微分形式基本方程如下:,在任何时刻电荷守恒定律都应成立。法拉第已在1843年用实验证实了这一定律。 其数学表达式就是电流连续性方程:,J是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位时间内通过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 若体积中各处都有电荷流动, 则通过某封闭面S的总电流为 。 它是每单位时间流出S面的电荷量, 应等于S面内每单位时间所减少的电荷量
10、-dQ/dt。,(2-30),把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有,上式对任意选择的V都成立, 故有,这是微分形式的电流连续性方程。,麦克斯韦首先注意到上述微分形式的基本方程不符合电流 连续性方程, 因为,对于静态场是成立的,但对于时变场则不成立。故应用于时变场时需加以修正。,的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度(displacement current density)Jd, 即,对左端应用斯托克斯定理, 便得到其积分形式:,它说明: 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。,重大意义:除传导电流外,时变电场也
11、将激发磁场安培-麦克斯韦全电流定律,2 .2 .3 全电流连续性原理,对任意封闭面S有,即,因为,穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: I=0。,例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与U的关系。,图 2-4 平板电容器,解,设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得,式中C=A/d为平板电容器的电容。,由全电流连续性原理可知,传导电流应等于二平
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- 电磁场 中的 基本 方程
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