矩阵分析所有习题及标准答案.ppt
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1、习题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵, ,Cn.定义内积 (,)=A*.试证它是内积;写出相应的C-S不等式,: :Cauchy-Schwarz不等式:,习题3-3(1),#3-3(1):已知A= ,试求UUnn使U*AU=R为 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV= 子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 W1=(1,2),2=(1/5,2/5)T,则W1*A1W
2、1= 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.,习题3-9,#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵. 证: A*A=(E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E-(T+iS)(E+(T+iS)(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E 注:可以不证 AA*=E; (E-(T+iS)(E+(T+iS)=(E+(T+iS)(E-(T+iS) =(E+T+iS)(E-T-iS),习题3
3、-12设A,B均是正规矩阵,试证:A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同,证:充分性:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, B=Vdiag(1,n)V*, 其中1,n是A,B的特征值集合.于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 必要性:显然,因为,相似矩阵有相同的特征值.,习题3-13,#3-13:若AHnn,A2=A,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,0),r=rank(A). 证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*, (*) 其中1,n是A的特征值的任意排列. A2=A 和 A2=
4、Udiag(1,n)U*Udiag(1,n)U* =Udiag(12,n2)U* i2=i,即i0,1,i=1,n,. 取1,n的排列使特征值0全排在后面,则(*)式即给出所需答案.,习题3-14,#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*, (*) 其中1,n是A的特征值的任意排列. A2=E=Udiag(1,1)U* 和 A2=Udiag(1,n)U*Udiag(1,n)U* =Udiag(12,n2)U* i2=1,即i=1,i=1,n,. 取1,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
5、前面,则(*)式即给出所需答案.,习题3-16,#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数. 证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.,#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PA
6、P*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B) =det A det(A-1-B)=0. 但det A 0,和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例3.9.1的相关证明),习题3-19设A是正定Hermite矩阵且AUnn,则A=E,证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,n)U*, (*) 其中1,n是A的特征值的任意排列. A 是
7、正定蕴含 i0,i=1,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,n 因此 i=1,i=1,n A=Udiag(1,n)U*=UEU*=UU*=E.,习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵,解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,正定矩阵.则 A*=A&B*=B (A+B)*=A+B Hnn xCn,x*Ax0,x*Bx0 xCn,x*(A+B)x0 A+B是半正定Hermite矩阵. 0xCn,x*Ax0,x*Bx0 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx0 A+B是正定Hermite矩阵.,习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A与B相似的
8、充要条件是A与B酉相似,证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, B=Vdiag(1,n)V*, 其中1, n,1,n分别是A,B的特征值集合的任意排列. 必要性:若A与B相似,则i=i,i=1,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.,习题3-23设A*=A.试证:总存在t0,使得A+tE是正定;A-tE是负定,证:因为A是Hermite矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是A的特征值并且全为实数.令 tMax|1|,|n|,于是,A
9、+tE是Hermite矩阵 并且特征值全为正数,即得证A+tE是正定Hermite矩阵. AtE是Hermite矩阵 并且特征值全为负数,即得证AtE是负定Hermite矩阵.,习题3-25,#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆) 解: U*=U-1 (A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E 因最后一式恒成立,得证U*=U-
10、1,从而 U=(A+E)(A-E)-1Unn.,习题3-26设A为正规矩阵特征值为1, n.试证:A*A的特征值为|1|2,|n|2.,证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是A的特征值.于是, A*A=Udiag(|1|2,|n|2)U*. 因对角矩阵diag(|1|2,|n|2)酉相似于A*A,故A*A的特征值为 |1|2,|n|2,习题3-27,#3-27(1):A*A,AA*都是半正定Hermite矩阵. (2):若ACmn,则A*A,AA*的非零特征值相同(它们的谱可能不一样) 证:(1): (A*A)*=A*A,(AA*)*=AA
11、*. xCn,x*(A*A)x =(Ax)*Ax=(Ax,Ax)0. (2): 对AA*的任意非零特征值有 AA*x=x,x0. 于是 A*A(A*x)=(A*x). 因 x0,故A*x0,从而得证AA*的任意非零特征值也是A*A的非零特征值. 同理可证:A*A的任意非零特征值也是AA*的非零特征值.,习题3-27(2)另一解法,证:不难验证下列矩阵等式: 因S= 可逆,故 从而det(E-AA*)=0与det(E-A*A)=0有相同非零解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.,习题3-28设A为正规矩阵.试证:若Ar=0,则A=0.若A2=A,则A*=A.,证:因为A是正规矩阵,所以存在U
12、Unn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,n.后者又蕴涵 1=n=0. A=Udiag(0,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,n. 后者又蕴涵i=0或1, i=1,n,(即正规矩阵A的特征值全为实数). A*=Udiag(1,n)U*=A.,习题3-30,#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn. 证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵,并且满足A
13、=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.,习题3*1试证:向量长度的齐次性,#3*1:试证 证:令=(a1,an)T ,则 k=(a1,an)T,习题3*2试证:在酉空间V中成立广义商高定理,#3*2:试证 1,kV &(i,j)=0,ij 或等价地(1+k,1+k)=(1,1)+(k,k) 证:对k用归纳法证明.k=2时,有 (1+2,1+
14、2)2=(1,1)+(1,2)+(2,1)+(2,2) =(1,1)+(2,2) 若k-1时结论成立,则 (1+k-1,k)=0 (1+k,1+k)=(1+k-1)+k,(1+k-1)+k) =(1+k-1,1+k-1)+(k,k) =(1,1)+(k,k)+(k,k),习题3*3令1=(1,1,1,1)T,2=(3,3,-1,-1)T, 3=(-2,0,6,8)T,求Span1,2,3的标正基,解: 1,2,3就是所要求的标正基.,习题3*5(i)用归纳法证明 1+3+5+(2n-1)2=n2,证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立. 若n-1时结论成立 1+3+5+(2n-3)=(n-
15、1)2 则 1+3+5+(2n-1)2 =1+3+5+(2n-3)+(2n-1) =(n-1)2+(2n-1) =n2-2n+1+2n-1 =n2,习题3*6,试证: 为正规矩阵 解 所以A为正规矩阵. 易见:A不是对角阵且 A*A和A*-A 因此,A不是Hermite矩阵,也不是反Hermite矩阵.,习题3*7证明:对任意正定矩阵A,任意正整数k 都有正定矩阵S 使 Sk=A,证:因为A是正定矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,n)U*, 其中1, n是全为正数.令 S=Udiag(11/k,n1/k)U*, 其中i1/k是正数i的k次算术根,也全为正数.由此推出: Sk=A
16、,并且S酉相似于对角元全为正数的对角矩阵,从而得证S是正定Hermite矩阵,习题4-1(1),4-1:求 A= 的满秩分解. 解1: A = C A=BC, B=(A5,A3,A1)=,习题4-1(1),4-1:求 A= 的满秩分解. 解2: A = C A=BC, B=(A1,A2,A3)=,习题4-1(2),4-1(2):求 A= 的满秩分解. 解: A = C A=BC, B=(A1,A3)=,习题4-2,求 A= 的奇异值分解. 解: A的奇异值是:2,1; =diag(2,1) AA*的对应于特征值2,1的单位特征向量是 (1/2,1/2,0)T, (1,0,0)T,A的奇异值分解
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