高量-电子的相对论运动方程.ppt
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1、1,这里主要讨论符合相对论要求的单电子(自旋1/2) 的量子力学,并以粒子数守恒和低能的非相对论量子 力学为主。主要内容有:,1.建立狄拉克方程以及若干有关的概念,为进一步 学习全面的相对论理论打基础;,2.以单电子为研究对象,给出其哈密顿,求得狄拉 克方程的严格解。,在本章的处理中电磁场仍看作外场,并按照经典场 处理。,第三章 狄拉克方程,15 电子的相对论运动方程,2,15.2 克莱因-高登方程和狄拉克方程,不符合狭义相对论要求,因为其中的H是根据经典 非相对论分析力学写出来的. 现在任务是改写这个 原理中的运动方程,使之符合相对论的要求。,在前面所介绍的量子力学的五个基本原理中, 只有原
2、理4,即,微观系统的状态 随时间的变化规律是薛定 谔方程,3,将此式与经典单粒子的动能与动量的关系式,一.克莱因-高登方程的推导,按照相对论的时空对等性要求和方程在洛伦兹变换 下的不变性要求,我们在坐标表象下讨论这个问题。,相比较,发现 与 相对应,而 与 相对应。,在坐标表象下,外场下单粒子的薛定谔方程为,第一个相对论运动方程正是仿照这种对应方式而 得到的。,4,根据相对论关系,并考虑上述对应关系,这个方程称为克莱因-高登方程。,在克莱因-高登方程提出后立即发现其有许多问题:,(1) 不是正定的,无法解释为粒子的位置概率;,(令 ,若对任意 , 则 为正定),并对任意波函数发生作用,有,5,
3、(5)这一方程除了V=0的自由形式外,无法纳入量子 力学已有的体系之中,即无法写成含时薛定谔方 程的形式。,(2)总能量有负的本征值,而且没有下限,这将造成 严重的困难。因为在量子理论中存在自发跃迁的 概念,因而这个方程的所有定态解将不断自发辐 射到 的能级;,(3)这是一个对时间的二阶方程,解此方程时除了需 要初始时刻的 外, 还需要 作为初始条件;,(4)用此方程计算H原子能级与实验值符合得不好;,6,总之,克-高方程无法纳入现有量子力学的框架,而 且至少对于电子是不适用的。然而又不能简单地否定。 因为:,(1)这个方程的非相对论极限 正是薛定谔方程,(2)从这一方程可以导出一个连续性方程
4、,其中,7,而上述流密度表达式与非相对论的表达式,十分相似。,如此看来,既然克莱因-高登方程符合相对论的要 求,那么很可能是态函数不对:,即态函数虽然满足克-高方程,但还要满足另一个比此方程要求更高的方程。,这个要求更高的方程就是狄拉克方程。,8,二. 狄拉克方程,基于克-高方程的上述情况,狄拉克开始他寻找这 个方程的工作。他希望,(1)这首先是一个对时间的一阶方程,以便纳入 已有的量子力学框架;,(2)同时又要求它的解仍然满足克-高方程。,于是狄拉克假设自由电子正确的相对论方程应取下 列形式:,或简写成,9,式中 和 是四个与时间和位置无关的待 定常量,c是光速。引人c的目的是保证 无量纲。
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