电路教案第5章nppt课件.ppt
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1、5.5 一阶电路的全响应 三要素公式 5.6 一阶电路的阶跃响应 一、阶跃函数 二、阶跃响应 5.7 二阶电路分析 一、零输入响应 二、阶跃响应 5.8 正弦激励下一阶电路 的响应,5.1 动态电路的方程及其解 一、动态电路方程的建立 二、微分方程的经典解法 5.2 电路的初始值 一、独立初初始值 二、非独立初始值 5.3 一阶电路的零输入响应 与时间常数 5.4 一阶电路的零状态响应,第五章 动态电路的时域分析,点击目录 ,进入相关章节,下一页,前一页,第 5-1 页,退出本章,5.1 动态电路的方程及其解,下一页,前一页,第 5-2 页,返回本章目录,一、动态电路方程的建立,1、依据:元件
2、VAR,KCL和KVL列写方程;,2、一阶电路举例:,由于动态电路中的电感电容的VAR是微积分关系,可以预料,动态电路列出的方程一定是微积分方程。若描述电路的方程是一阶微分方程,相应的电路称为一阶电路(first order circuit)。,例1:图RC电路,t=0时开关S闭合,讨论t0时的电容电压uC(t)。,t0时,根据KVL方程列出回路电压方程为,uR + uC uS = 0,根据元件的VAR,有,代入上式,整理得,令=RC,其单位是秒。因为RC=V/AC/V=C/A= s 故称为时间常数,简称时常数。,例2:图RL电路,t=0时开关S闭合,讨论t0时的电感电流iL(t)。,下一页,
3、前一页,第 5-3 页,返回本章目录,一、动态电路方程的建立,5.1 动态电路的方程及其解,t0时,根据KCL有,iR + iL iS = 0,根据元件的VAR,有,代入上式,整理得,观察上两例列出的方程,除变量不同外,均为典型的一阶微分方程,因此均为一阶电路。一阶微分方程的一般形式可写为,y(t) + ay(t) = bf (t), 式中y(t)为响应,f (t)为激励。,令=L/R,其单位是秒。因为L/R=Wb/A/V/A=Wb/V=s,故称为时间常数,简称时常数。,3、二阶电路举例:,下一页,前一页,第 5-4 页,返回本章目录,例:图RLC串联电路,仍以电容电压uC(t)作为电路的响应
4、。,根据KVL方程有,uR + uL + uC uS = 0,根据元件的VAR,有,代入上式,整理得,这是二阶微分方程,因此称该电路为二阶电路。二阶微分方程的一般形式可写为,y”(t) + a1y(t) + a0y(t) = b0f (t),一、动态电路方程的建立,5.1 动态电路的方程及其解,4、建立动态方程的一般步骤,下一页,前一页,第 5-5 页,返回本章目录,、根据电路建立KCL或KVL方程,写出个元件的伏安关系; 、在以上方程中消去中间变量,得到所需变量的微分方程。 对于较复杂的动态电路,常用拉普拉斯变换进行分析。,一、动态电路方程的建立,5.1 动态电路的方程及其解,1、微分方程的
5、经典解法,下一页,前一页,第 5-6 页,返回本章目录,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的方程及其解,一阶和二阶微分方程一般形式为,y(t) + ay(t) = bf (t) (1) , y”(t) + a1y(t) + a0y(t) = b0f (t) (2),对于线性时不变动态电路,上式中的系数都是常数。,高等数学学过,线性常系数微分方程的解由两部分组成: y(t) = yh(t) + yp(t) 即:完全解 =齐次解(通解)+ 特解,齐次解yh(t) :它的函数形式取决于微分方程的特征根。,对于一阶微分方程,其特征方程为 s + a = 0,特征根为s = -a,故,yh(t)
6、= K est = K e-a t,式中K为待定常数。,对于二阶微分方程,其特征方程为 s2 + a1s + a0 = 0,特征根为s1 和s2 , 当s1 s2 时, yh(t) = K1 es1t + K2 es2t 当s1 = s2 = s时, yh(t) = (K1 + K2 t)est 式中待定常数K1、 K2将在完全解中由初始条件确定。,特解yh(t) :特解具有与激励f(t)相同的函数形式。列表如下:(P99表3-2),下一页,前一页,第 5-7 页,返回本章目录,当特解yp(t)的函数形式确定后,将其代入原微分方程中,来求待定常数Ai,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的
7、方程及其解,2、举例,下一页,前一页,第 5-8 页,返回本章目录,如图RC电路,Us为直流电压源,当t = 0时开关闭合,电容的初始电压uC(0) = U0,求t0时的uC(t)。,解(1)建立电路方程。前面已得,(2)求齐次解uCh(t)。特征方程为 s + 1/(RC) = 0 其特征根 s = - 1/(RC),故,(3)求特解uCp(t)。激励Us为常数,特解也是常数。 令 uCp(t) = A,将它代入上面微分方程,得,故得特解 uCp(t) = A = Us,(4)求完全解uC (t)。,uC (t) = uCh(t) + uCp(t) =,式中常数K由初试条件uC(0) = U
8、0确定。将该条件代入上式,得,uC(0) = K + Us = U0 ,解得 K = U0 - Us ,故,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的方程及其解,3、结果分析:固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应,下一页,前一页,第 5-9 页,返回本章目录,在完全解中,其第一项(即齐次解)的函数形式仅由特征根确定,而与激励的函数形式无关,称为固有响应或自由响应。,固有响应,式中第二项(即特解)与激励具有相同的函数形式,称为强迫响应。,强迫响应,按电路的工作情况,也常将完全响应分为暂态响应和稳态响应。上式中第一项按指数规律衰减,t时,该项为0,称为暂态响应。第二项在任意时刻都保持稳定,称为稳
9、态响应。,二、微分方程的经典解法,5.1 动态电路的方程及其解,1、换路定律,下一页,前一页,第 5-10 页,返回本章目录,5.2 电路的初始值,前面可以看到,求解微分方程时,需要根据给定的初始条件确定解答中的待定常数K。由于电路的响应是指电压和电流,故相应的初始条件为电压或电流的初始值,即在t = t0时刻的值u(t0)、i(t0)。,其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0) 、 iL(t0)由电路的初始储能决定,称为独立初始值或初始状态。其余电压电流的初始值称为非独立初始值,它们将由电路激励和初始状态来确定。,(1)、换路现象,* 开关的闭或开动作; * 元件参数突变; * 电
10、源数值突变;,统称为“换路”,电路的初始时刻一般认为是换路时刻。设换路时刻为t = t0,则,换路前瞬间为:,换路后瞬间为:,我们解微分方程所需要的初始值实际上是指在t0+时刻的值。,一、独立初始值,(2)、换路定律(Switching Law),下一页,前一页,第 5-11 页,返回本章目录,5.2 电路的初始值,若电容电流iC和电感电压uL在t = t0时为有限值,则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL是连续的(不发生跃变),即有 uC(t0+) = uC(t0-) iL(t0+) = iL(t0-),(3)、说明,(1)强调指出:除电容电压和电感电流外,其余各处电压电流不受换路定律的约
11、束,换路前后可能发生跃变。 (2)换路定律可以从能量的角度来理解: 由于wC(t) = 0.5Cu2C(t)、wL(t) = 0.5Li2L(t),如果uC或iL发生跃变,则wC或wL也发生跃变,由于功率p = dw/dt,因此能量的跃变意味着功率为,这在实际电路中是不可能的。但在某些理想情况下,有可能。 (3)通常t0= 0。此时uC(0+) = uC(0-), iL(0+) = iL(0-),一、独立初始值,2、独立初始值(初始状态)的求解,下一页,前一页,第 5-12 页,返回本章目录,首先根据换路前电路的具体状况,求出uC(0-)和 iL(0-)。然后利用换路定律即可求得uC(0+)
12、= uC(0-), iL(0+) = iL(0-)。,例:电路如图所示,已知t0时,开关S是闭合的,电路已处于稳定。在t = 0时,开关S打开,求初始值uC(0+) 和iL(0+) 。,解:t 0时,电路在直流电源作用下并已处于稳态,此时,电路各处电压、电流均为直流。因此电容可视为开路,电感视为短路。得t = 0-时的等效电路如图(b)。,由图(b)电路容易求得: iL(0-) = 8/(2+6) = 1 A uC(0-) = 6 iL(0-) = 6 V,由换路定律得: uC(0+) = uC(0-) = 6 V iL(0+) = iL(0-) = 1 A,5.2 电路的初始值,一、独立初始
13、值,1、非独立初始值求解 基本思路:先求出独立初始值,然后再由独立初始值求出非独立初始值。,下一页,前一页,第 5-13 页,返回本章目录,当初始状态求出后,根据置换定理,在t = 0+时刻,将电容用电压等于uC(0+) 的电压源替代若uC(0+) = 0时用短路替代,电感用电流等于iL(0+)的电流源替代若iL(0+) = 0时用开路替代,独立源均取t = 0+时刻的值。此时得到的电路是一个直流电源作用下的电阻电路,称为0+等效电路,如图(b)。由该电路求得各电流、电压就是非独立初始值。,5.2 电路的初始值,二、非独立初始值,下一页,前一页,第 5-14 页,返回本章目录,例:电路如图(a
14、)所示,已知t 0时,开关S是处于位置1,电路已达稳态。在t = 0时,开关S切换至位置2,求初始值iR(0+)、 iC(0+) 和uL(0+) 。,解 (1)计算uC(0-) 和iL(0 -) 。由于t 0时电路已达直流稳态,电容开路,电感短路,t = 0-时的等效电路如图(b)。可得,iL(0 -) = 210/(2+3) = 4A uC(0-) = 3 iL(0 -) = 12 V,(2)根据换路定律得 uC(0+)= uC(0-) =12V, iL(0 +) = iL(0 -) = 4A,(3)计算非独立初始值。开关切换至位置2,画出0+等效电路,如图(c)。,iR(0+) = 12/
15、4 = 3A iC(0 +) = - iR(0+) 4 = -7A uL(0+) = 12 - 34 = 0V,5.2 电路的初始值,二、非独立初始值,2、初始值计算步骤总结:,下一页,前一页,第 5-15 页,返回本章目录,(1)由t = 0- 时的等效电路,求出uC(0-) 和iL(0 -) (特别注意:直流稳态时,L相当于短路,C相当于开路)。 (2)根据换路定律,确定初始状态uC(0+) = uC(0-) , iL(0 +) = iL(0 -) 。 (3)画出0+等效电路,利用电阻电路分析方法,求出各非独立初始值。,3、电容电压、电感电流发生强迫跃变的情况(了解),指出:换路定律仅在电
16、容电流和电感电压为有限值时才成立。在某些理想情况下,电容电流和电感电压可以为, uC和iL可能强迫跃变。可能情况: 换路后,电路中存在有全部由电容组成的回路或由电容和理想电压源组成的回路,那么,电容电压可能发生跃变。 换路后,电路中存在节点或闭合曲面,与它相连支路全部由含电感的支路或理想电流源支路组成,那么,电感电流可能发生跃变。,在发生强迫跃变的情况下,可根据电荷守恒和磁链守恒的原理确定有关初始值。q(0+) = q(0-) , (0+) = (0-),5.2 电路的初始值,二、非独立初始值,1、零输入响应,下一页,前一页,第 5-16 页,返回本章目录,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常
17、数,动态电路能量来源于两部分:一是外加激励,另一是电路的初始储能(初始状态)。,定义:外加激励均为零时,仅由初始状态所引起的响应,称为零输入响应,记为yx(t)。,例:电路如图(a)所示,已知t 0时,开关S是处于位置1,电路已达稳态。在t = 0时,开关S切换至位置2,求t0时,电容电压uC(t) (零输入响应)。,解:首先计算初始状态,容易得到,t0时,开关切换至2,电路如图(b) 。由KVL列方程 uR + uC = 0 ,其中uR = R i , i = - C duC/dt,故有,或写为,式中,=RC为时常数。,下一页,前一页,第 5-17 页,返回本章目录,将初始值uC(0+) 代
18、入,可得常数 K = uC(0+) ,最后得,,t0,波形如图(c)、(d)。可见当t时,它们衰减到零,达到稳态。这一变化过程称为暂态过程或过渡过程。,在换路前后,电容电压是连续的;而电流i(0-) = 0,i(0+) = uC(0+)/R,发生跃变。,零输入响应与初始状态之间满足齐次性。实际上,对二阶以上电路,有多个初始状态,零输入响应与各初始状态间也满足可加性。这种性质称为零输入线性。,物理过程:放电,上面齐次微分方程的特征方程为 s + (1/) = 0,特征根为 s = - 1/,故解为:,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,2、暂态过程与时常数之间的关系,下一页,前一页,第 5-
19、18 页,返回本章目录,上述RC电路的放电过程的快慢取决于时常数,它越大,表达电压电流的暂态变化越慢,反之,越快。注意:仅与电路内参数有关,与激励和初始状态无关。,不同t值对应的响应,工程上,一般认为,经过3 5 的时间后,暂态响应已基本结束。,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,例:电路如图所示,已知R = 4,L = 0.1H,US = 24V,开关在t = 0打开,求t0时的电流iL,其中电压表的内阻RV = 10k ,量程为100V,问开关打开时,电压表有无危险?,下一页,前一页,第 5-19 页,返回本章目录,解 因t = 0-时,电感相当与短路,故u(0-) = 0。 而 iL
20、(0+) = iL(0-) = Us/R = 24/4 = 6 A,换路后,等效电路如图(b)。由KVL方程有 uL u = 0 将uL = L diL/dt和 u = - RViL代入上式得,令=L/RV=10-5s,方程变为,故,电压表换路后瞬间要承受-60kV的高压,而其量程只有100V,因此电压表立即被打坏。,u(t) = - RV iL(t) = - 10103 = - 60 kV,5.3 一阶电路的零输入响应与时间常数,下一页,前一页,第 5-20 页,返回本章目录,定义:当电路的初始储能为零(即初始状态为零)时,仅由外加激励所引起的响应,称为零状态响应,记为yf(t)。,例:电路
21、如图(a)所示,已知t 0时,开关S是闭合,电路已达稳态。在t = 0时,开关S断开,求t0时,电容电压uC(t) 。,解: t 0时开关闭合, uC(0+) =uC(0-) = 0,故所求响应为零状态响应。 t0时,根据KCL有 iC + iR = Is 由于 iC= C duC/dt, iR = uC/R,代入上式得,或写为,式中=RC,初始值uC(0+) = 0,uC(t) = uCh(t) + uCp(t),对应的齐次解为,5.4 一阶电路的零状态响应,其特解为常数,令uCp(t) = A,将其代入微分方程得,下一页,前一页,第 5-21 页,返回本章目录,故得特解 uCp(t) =
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