二最大值与最小值问题.ppt
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1、二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第三章,一、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 (P146例4),为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理
2、1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点,,其极大值为,是极小点,,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;
3、,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,例如 , 例2中,极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1, 定理3 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,则其
4、最值,只能在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相
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